Ebene/Abstand zum Nullpunkt/Äquivalenzklassen/Beispiel

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In der Ebene sei ein bestimmter Punkt markiert. Wir betrachten die Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte und als äquivalent gelten, wenn sie zu den gleichen Abstand besitzen. Dies wird durch

ausgedrückt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, wie man direkt überprüfen kann und was auch aus Fakt folgt, da man ja die Situation mittels der Abbildung

interpretieren kann. Die Äquivalenzklasse zu einem Punkt besteht aus allen Punkten der Ebene, die in ihrem Abstand zu mit übereinstimmen. Dies ist genau der Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Die Äquivalenzklassen sind also die konzentrischen Kreise um den Mittelpunkt , wobei man hier den Punkt als Kreis mit Radius mitzählen muss (man kann sich darüber streiten, ob das ein Kreis ist, jedenfalls ist diese einpunktige Menge hier eine Äquivalenzklasse).