Ebene/Abstand zum Nullpunkt/Äquivalenzklassen/Beispiel

In der Ebene ${}E$ sei ein bestimmter Punkt ${}M$ markiert. Wir betrachten die Äquivalenzrelation, bei der zwei Punkte ${}P$ und ${}Q$ als äquivalent gelten, wenn sie zu ${}M$ den gleichen Abstand besitzen. Dies wird durch

${}d(P,M)=d(Q,M)\,$

ausgedrückt. Dies ist eine Äquivalenzrelation, wie man direkt überprüfen kann und was auch aus Fakt folgt, da man ja die Situation mittels der Abbildung

$E\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,P\longmapsto d(P,M),$

interpretieren kann. Die Äquivalenzklasse zu einem Punkt ${}P$ besteht aus allen Punkten der Ebene, die in ihrem Abstand zu ${}M$ mit ${}d(P,M)$ übereinstimmen. Dies ist genau der Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch den Punkt ${}P$. Die Äquivalenzklassen sind also die konzentrischen Kreise um den Mittelpunkt ${}M$, wobei man hier den Punkt ${}\{M\}$ als Kreis mit Radius ${}0$ mitzählen muss (man kann sich darüber streiten, ob das ein Kreis ist, jedenfalls ist diese einpunktige Menge hier eine Äquivalenzklasse).