Ebene Achsenspiegelung/Gleichung/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

{}\det {\begin{pmatrix}X-\alpha &-\beta \\-\beta &X+\alpha \end{pmatrix}}=\left(X-\alpha \right)\left(X+\alpha \right)-\beta ^{2}=X^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}=X^{2}-1\,.

b) Wegen der Faktorisierung

{}X^{2}-1=\left(X-1\right)\left(X+1\right)\,

sind ${}1$ und ${}-1$ die beiden Eigenwerte. Die Abbildung ist nach Fakt diagonalisierbar.

c) Der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$ ist der Kern von

{\begin{pmatrix}1-\alpha &-\beta \\-\beta &1+\alpha \end{pmatrix}},

das ist ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}\beta \\1-\alpha \end{pmatrix}}$ .

Der Eigenraum zum Eigenwert ${}-1$ ist der Kern von

{\begin{pmatrix}-1-\alpha &-\beta \\-\beta &-1+\alpha \end{pmatrix}},

das ist

{}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1-\alpha \\-\beta \end{pmatrix}}

.