Ebene Drehung/Komplexe Version/Eigenwerte und Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom von ${}M$ ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &X-\cos \alpha \end{pmatrix}}&={\left(X-\cos \alpha \right)}^{2}+\sin ^{2}\alpha \\\end{aligned}}$

Die Nullstellen davon sind

${}x_{1,2}=\cos \alpha +\pm {\mathrm {i} }\sin \alpha \,,$

und dies sind die (komplexen) Eigenwerte von ${}M$. Der Eigenraum zu ${}x_{1}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha$ ergibt sich als Kern von ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Dieser ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor.

Der Eigenraum zu ${}x_{1}=\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha$ ergibt sich als Kern von ${}{\begin{pmatrix}\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha -\cos \alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &-{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}}$. Dieser ist ${}{\mathbb {C} }{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ ist ein Eigenvektor. Wegen

${}\left\langle {\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}\right\rangle ={\mathrm {i} }\cdot {\mathrm {i} }+1=0\,$

stehen die beiden Eigenvektoren senkrecht aufeinander. Beide haben die Norm ${}2$, so dass ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\1\end{pmatrix}}$

eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ist.

Zur gelösten Aufgabe