Beweis
Wir betrachten die
kurze exakte Sequenz
-
von
-Vektorräumen.
Nach
Fakt
sind die Dimensionen endlich. Dass die Dimensionen von
konstant gleich der Multiplizität sind
(für
hinreichend groß)
ist äquivalent dazu, dass die Differenz zwischen den Dimensionen von
und
konstant gleich der Multiplizität ist für
hinreichend groß. Dies ist durch Induktion äquivalent dazu, dass
-

gilt für eine Konstante
und
hinreichend groß. Wir können durch Verschieben der Situation annehmen, dass
der Nullpunkt in der Ebene ist. Sei
das zugehörige maximale Ideal in
.
Dann ist
,
sodass die Aussage dafür zu zeigen ist.
Nach Voraussetzung hat
die Gestalt
mit
. Damit ist insbesondere
.
Für ein weiteres Polynom
(mit
)
ist
.
Daher liegt eine kurze exakte Sequenz
-
vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung
(siehe
Aufgabe).
Bekanntlich ist die Dimension von
gleich
. Daher ergibt sich für
die Gleichheit

Dies ist die Behauptung.