Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

0 \overset{}{⟶} 𝔪^{n} / 𝔪^{n + 1} \overset{}{⟶} R / 𝔪^{n + 1} \overset{}{⟶} R / 𝔪^{n} \overset{}{⟶} 0

von $K$ -Vektorräumen. Nach Fakt sind die Dimensionen endlich. Dass die Dimensionen von $𝔪^{n} / 𝔪^{n + 1}$ konstant gleich der Multiplizität sind (für $n$ hinreichend groß) ist äquivalent dazu, dass die Differenz zwischen den Dimensionen von $R / 𝔪^{n + 1}$ und $R / 𝔪^{n}$ konstant gleich der Multiplizität ist für $n$ hinreichend groß. Dies ist durch Induktion äquivalent dazu, dass

\dim (R / 𝔪^{n}) = m_{P} n + c

gilt für eine Konstante $c$ und $n$ hinreichend groß. Wir können durch Verschieben der Situation annehmen, dass $P$ der Nullpunkt in der Ebene ist. Sei $𝔞 = (X, Y)$ das zugehörige maximale Ideal in $S = K [X, Y]$ . Dann ist $K [X, Y] / (𝔞^{n} + (F)) = R / 𝔪^{n}$ , sodass die Aussage dafür zu zeigen ist.

Nach Voraussetzung hat $F$ die Gestalt $F = F_{m} + F_{m + 1} \dots$ mit $m = m_{P}$ . Damit ist insbesondere $F \in 𝔞^{m}$ . Für ein weiteres Polynom $G \in 𝔞^{n - m}$ (mit $n \geq m$ ) ist $G F \in 𝔞^{n}$ . Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

0 \overset{}{⟶} S / 𝔞^{n - m} \overset{\cdot F}{⟶} S / 𝔞^{n} \overset{}{⟶} S / (𝔞^{n}, F) = R / 𝔪^{n} \overset{}{⟶} 0

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Bekanntlich ist die Dimension von $S / 𝔞^{n}$ gleich $n (n + 1) / 2$ . Daher ergibt sich für $n \geq m$ die Gleichheit

\begin{matrix} \dim (R / 𝔪^{n}) & = \frac{n (n + 1)}{2} - \frac{(n - m) (n - m + 1)}{2} \\ = \frac{n^{2} + n - (n - m)^{2} - n + m}{2} \\ = \frac{2 n m - m^{2} + m}{2} \\ = m n - \frac{m (m - 1)}{2} . \end{matrix}

Dies ist die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage