Ebene algebraische Kurven/Glatter Punkt/Tangente/Bemerkung

Für einen glatten Punkt ${}P=(a,b)\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve nennt man die durch die Gleichung

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$

gegebene Gerade die Tangente im Punkt ${}P$ an die Kurve. Bei ${}P=(0,0)\in C$ kann man die Glattheit und die Tangente einfach ablesen. Man zerlegt ${}F$ in die homogenen Komponenten

${}F=F_{0}+F_{1}+F_{2}+\cdots +F_{d}\,.$

Dabei ist der konstante Term ${}F_{0}=0$, da der Nullpunkt ein Punkt der Kurve ist, und der lineare Term ist ${}F_{1}=uX+vY$. Hierbei ist

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$

(da die höheren homogenen Komponenten von ${}F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten), es liegt genau dann ein glatter Punkt vor, wenn ${}F_{1}\neq 0$ und die Bedingung ${}uX+vY=0$ beschreibt die Tangente.