Ebene algebraische Kurven/Glatter Punkt/Tangente/Bemerkung

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Für einen glatten Punkt einer ebenen algebraischen Kurve nennt man die durch die Gleichung

gegebene Gerade die Tangente im Punkt an die Kurve. Bei kann man die Glattheit und die Tangente einfach ablesen. Man zerlegt in die homogenen Komponenten

Dabei ist der konstante Term , da der Nullpunkt ein Punkt der Kurve ist, und der lineare Term ist . Hierbei ist

(da die höheren homogenen Komponenten von keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten), es liegt genau dann ein glatter Punkt vor, wenn und die Bedingung beschreibt die Tangente.