Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension ist endlich/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei das maximale Ideal in . Da und keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in zwischen und kein weiteres Primideal. Daher ist in jede Nichteinheit nilpotent. Daher gilt in die Beziehung für ein . Es liegt daher eine Surjektion

vor. Nach Fakt besitzt der Restklassenring links eine endliche -Dimension, so dass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.