Ebene algebraische Kurven/Tangente in einem glatten Punkt/Bemerkung

Für einen glatten Punkt ${}P\in C=V(F)$ einer ebenen algebraischen Kurve ist die Multiplizität ${}m=1$. Bei ${}P=(0,0)$ ist also der lineare Term der Kurvengleichung ${}F_{1}=uX+vY=0$ und es ist

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=u\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)=v$

(da die höheren homogenen Komponenten von ${}F$ keinen Beitrag zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt leisten). Diese lineare Gleichung ist also die Tangentengleichung. Auch für einen beliebigen glatten Punkt ${}P=(a,b)\in C$ kann man aus den partiellen Ableitungen von ${}F$ in ${}P$ direkt die Tangentengleichung ablesen, und zwar ist die Tangente durch

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)(X-a)+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)(Y-b)=0\,$

gegeben.