Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Differentialmodul/Fakt

Es sei $K$ ein Körper, seien  $a,b\in \mathbb{N}$  teilerfremde Zahlen und sei  $R=K[X,Y]/(X^a-Y^b)$.  Dann ist

${\mathrm{\Omega }}_{R/K}=RdX+RdY/(a{X}^{a-1}dX-b{Y}^{b-1}dY).$

Die Differentialform $aYdX-bXdY$ ist nicht $0$, aber ein nilpotentes Torsionselement.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen