Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Differentialmodul/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt aus Fakt. Es ist

${}{\begin{aligned}0&=XY{\left(aX^{a-1}dX-bY^{b-1}dY\right)}\\&=aYX^{a}dX-bXY^{b}dY\\&=aYY^{b}dX-bXY^{b}dY\\&=Y^{b}(aYdX-bXdY).\end{aligned}}$

Es ist daher auch

${}{\begin{aligned}(aYdX-bXdY)^{a+b}&=(aYdX-bXdY)^{a+b-1}\cdot (aYdX-bXdY)\\&={\left(Y^{b}F+X^{a}G\right)}\cdot (aYdX-bXdY)\\&=0.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage