Ebene projektive Kurve/C/Y^n ist F(X)/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt. Auf der offenen Menge ${}D_{+}(Z)$ erhält man die Gleichung ${}Y^{d}-G(X)=0$, wobei ${}G$ als Polynom in der einen Variablen ${}X$ keine mehrfache Nullstelle besitzt. Die partiellen Ableitungen sind ${}dY^{d-1}$ und ${}G'$. Wenn diese beiden in einem Punkt ${}(x,y)$ der Kurve verschwinden, so ist ${}y=0$ und damit ${}G(x)=0=G'(x)$, was wegen der Nullstellenbedingung nicht sein kann. Auf dem Komplement ${}V_{+}(Z)$ wird die Gleichung zu

${}0=G(X,0)=\alpha X^{d+1}\,$

mit einem Vorfaktor ${}\alpha \neq 0$, woraus ${}X=0$ folgt. Es gibt also nur noch den weiteren Punkt ${}P$ mit den Koordinaten ${}(0,1,0)$. Eine affine Umgebung dieses Punktes ist ${}D_{+}(Y)$, die dehomogenisierte Version der Gleichung auf diesem Teilstück ist ${}Z=G(X,Z)$. Die partielle Ableitung nach ${}Z$ ist ${}1+\sum \gamma _{ij}X^{i}Z^{j}$ mit ${}i+j=d$. Im Nullpunkt, der dem Punkt ${}P$ entspricht, ist dies gleich ${}1$, daher verschwinden dort ebenfalls nicht alle partiellen Ableitungen.

Zur bewiesenen Aussage