Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}G,H\in K[X]$  Polynome in einer Variablen vom Grad  ${}d,e\geq 1$  ohne gemeinsame Nullstelle. Es sei  ${}H\neq 0$  und sei  ${}F(X)=G(X)/H(X)$  die zugehörige rationale Funktion. Es seien ${}{\hat {G}}(X,Z)$ und ${}{\hat {H}}(X,Z)$ die zugehörigen Homogenisierungen

Dann wird der projektive Abschluss ${}C$ des Graphen von ${}F(X)$ bei  ${}d>e$  durch

$V_{+}{\left({\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}-{\hat {G}}(X,Z)\right)}$

und bei  ${}d\leq e$  durch

$V_{+}{\left({\hat {H}}(X,Z)Y-{\hat {G}}(X,Z)Z^{e-d+1}\right)}$

beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen