Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Gleichung für den projektiven Abschluss folgt direkt aus Fakt. Den Schnitt von mit der projektiven Geraden im Unendlichen erhält man, wenn man in der Gleichung setzt. Bei liegt insgesamt die Geradengleichung vor, und der Schnitt mit legt den einzigen Punkt fest. Bei liegt die Kurvengleichung

mit vor. Setzt man , so bleibt übrig, woraus folgt. Dies entspricht dem einzigen unendlich fernen Punkt .

Für die Multiplizität betrachtet man die affine Gleichung der Kurve auf . D.h. man setzt und erhält die affine Gleichung

und der Punkt ist in diesen Koordinaten der Nullpunkt. Daher ist die Multiplizität gleich mit der einzigen durch gegebenen Tangente. Bei ist die Multiplizität und daher liegt ein singulärer Punkt vor.

Zur bewiesenen Aussage