Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom in einer Variablen vom Grad ${}d\geq 1$.

Dann wird der projektive Abschluss ${}C$ des Graphen ${}V(Y-F(X))$ durch ${}V{\left(YZ^{d-1}-{\hat {F}}(X,Z)\right)}$ beschrieben, wobei ${}{\hat {F}}(X,Z)$ die Homogenisierung von ${}F$ bezeichnet. Dabei gibt es in ${}C$ bei ${}d=1$ (mit $F=aX+b$) noch den glatten Punkt ${}(1,a,0)$ und bei ${}d\geq 2$ noch den Punkt ${}(0,1,0)$, der bei ${}d\geq 3$ singulär ist.

Bei ${}d\geq 2$ besitzt der Punkt im Unendlichen die Multiplizität ${}d-1$.

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