Ebene und senkrechte Achse/Multiplizität/1/Beispiel

Wir betrachten den lokalen Ring

${}R=K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)}/(XY,XZ)\,,$

der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die Potenzen des maximalen Ideals  ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y,Z)$  gilt

${}{\mathfrak {m}}^{n}=(X^{n})+(Y,Z)^{n}\,,$

da ja sämtliche Monome, in denen neben ${}X$ noch eine weitere Variable vorkommt, gleich ${}0$ sind. Somit gilt für die Restklassenräume

${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}=K\langle X^{n},Y^{n},Y^{n-1}Z,\ldots ,Z^{n}\rangle \,$

und dessen ${}K$-Dimension ist ${}n+2$. Somit ist die Hilbert-Samuel-Funktion des Ringes gleich  ${}H_{R}(n)=n+2$  und die Hilbert-Samuel-Multiplizität des Ringes ist ${}1$. Der Ring ist aber nicht regulär.