Eigentheorie/Endomorphismus/Matrix/Fakt

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und es sei  ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$  eine Basis von ${}V$. Es sei  ${}M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$  die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis.

Dann ist  ${}v\in V$  genau dann ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}a$, wenn das Koordinatentupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}a$ ist.

Insbesondere besitzen ${}\varphi$ und ${}M$ die gleichen Eigenwerte.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen