Eigentheorie/Endomorphismus/Unter Isomorphismus/Fakt

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf dem ${}K$-Vektorraum ${}V$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow W$

ein Isomorphismus von ${}K$-Vektorräumen. Es sei

${}\psi =f\circ \varphi \circ f^{-1}\,.$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Ein Vektor ${}v\in V$ ist genau dann Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}a\in K$, wenn ${}f(v)$ ein Eigenvektor zu ${}\psi$ zum Eigenwert ${}a$ ist.
2. ${}\varphi$ und ${}\psi$ besitzen die gleichen Eigenwerte.
3. Die Abbildung ${}f$ induziert für jedes ${}a\in K$ einen Isomorphismus

   $f\colon \operatorname {Eig} _{a}{\left(\varphi \right)}\longrightarrow \operatorname {Eig} _{a}{\left(\psi \right)}.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen