Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Äquivalente Halbachsen/Isomorphe Isotropiegruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $g(H_1)=H_2$,  was es gibt, da die beiden Halbachsen nach Voraussetzung äquivalent sind. Dann hat man aber sofort den Gruppenisomorphismus

$G_{H_1}⟶G_{H_2},f⟼g\circ f\circ g^{-1}.$

Wegen

$\left(gf{g}^{-1}\right)(H_2)=gf(g^{-1}(H_2))=gf(H_1)=g(H_1)=H_2$

führt dieser innere Automorphismus von $G$ in der Tat die beiden Gruppen ineinander über.

Zur bewiesenen Aussage