Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Äquivalente Halbachsen/Isomorphe Isotropiegruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}g(H_{1})=H_{2}$, was es gibt, da die beiden Halbachsen nach Voraussetzung äquivalent sind. Dann hat man aber sofort den Gruppenisomorphismus

$G_{H_{1}}\longrightarrow G_{H_{2}},\,f\longmapsto g\circ f\circ g^{-1}.$

Wegen

${}{\left(gfg^{-1}\right)}(H_{2})=gf{\left(g^{-1}(H_{2})\right)}=gf(H_{1})=g(H_{1})=H_{2}\,$

führt dieser innere Automorphismus von ${}G$ in der Tat die beiden Gruppen ineinander über.

Zur bewiesenen Aussage