Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Möglichkeiten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei $m = 0$ ist die rechte Seite $0$ und daher folgt $n = 1 < 2$ aus der linken Seite. Bei $m = 1$ muss $n_{1} = \frac{n}{- n + 2}$ gelten, was bei $n \geq 2$ keine Lösung besitzt. Bei $m = 2$ erhält man die Bedingung $\frac{2}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}$ , woraus sich wegen $n_{1}, n_{2} \leq n$ nach Aufgabe $n_{1} = n_{2} = n$ ergibt. Bei $m = 3$ schreibt sich die Bedingung als

1 + \frac{2}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}}

mit $n_{1} \leq n_{2} \leq n_{3}$ . Die linke Seite ist $> 1$ . Daher muss wegen $n_{i} \geq 2$ mindestens eines der $n_{i} = 2$ sein. Es sei also $n_{1} = 2$ . Bei $n_{2} = 2$ gibt es genau die Lösung $n = 2 n_{3}$ mit beliebigem $n_{3} \geq 2$ . Es sei also $n_{2} \geq 3$ . Bei $n_{2} = 4$ wäre die rechte Seite wieder $\leq 1$ , sodass $n_{2} = 3$ gelten muss. Der Wert $n_{3} = 3$ führt zur Lösung $n = 12$ , der Wert $n_{3} = 4$ führt zur Lösung $n = 24$ und der Wert $n_{3} = 5$ führt zur Lösung $n = 60$ . Bei $n_{3} \geq 6$ wird die rechte Seite wieder $\leq 1$ , sodass es keine weitere Lösung gibt.
Bei $m \geq 4$ hat man eine Bedingung der Form

m - 2 + \frac{2}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}} + \frac{1}{n_{4}} + \dots + \frac{1}{n_{m}},

die keine Lösung besitzt, da die rechte Seite $\leq m - 2$ ist, da die ersten vier Summanden maximal $2$ ergeben und die weiteren durch $m - 4$ abgeschätzt werden können.

Zur bewiesenen Aussage