Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Möglichkeiten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei  ${}m=0$  ist die rechte Seite ${}0$ und daher folgt  ${}n=1<2$  aus der linken Seite. Bei  ${}m=1$  muss  ${}n_{1}={\frac {n}{-n+2}}$  gelten, was bei  ${}n\geq 2$  keine Lösung besitzt. Bei  ${}m=2$  erhält man die Bedingung  ${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}$,  woraus sich wegen  ${}n_{1},n_{2}\leq n$  nach Aufgabe  ${}n_{1}=n_{2}=n$  ergibt. Bei  ${}m=3$  schreibt sich die Bedingung als

${}1+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}\,$

mit  ${}n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}$.  Die linke Seite ist ${}>1$. Daher muss wegen  ${}n_{i}\geq 2$  mindestens eines der  ${}n_{i}=2$  sein. Es sei also  ${}n_{1}=2$.  Bei  ${}n_{2}=2$  gibt es genau die Lösung  ${}n=2n_{3}$  mit beliebigem  ${}n_{3}\geq 2$.  Es sei also  ${}n_{2}\geq 3$.  Bei  ${}n_{2}=4$  wäre die rechte Seite wieder ${}\leq 1$, sodass  ${}n_{2}=3$  gelten muss. Der Wert  ${}n_{3}=3$  führt zur Lösung  ${}n=12$,  der Wert  ${}n_{3}=4$  führt zur Lösung  ${}n=24$  und der Wert  ${}n_{3}=5$  führt zur Lösung  ${}n=60$.  Bei  ${}n_{3}\geq 6$  wird die rechte Seite wieder ${}\leq 1$, sodass es keine weitere Lösung gibt.
 Bei  ${}m\geq 4$  hat man eine Bedingung der Form

${}m-2+{\frac {2}{n}}={\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}+{\frac {1}{n_{3}}}+{\frac {1}{n_{4}}}+\cdots +{\frac {1}{n_{m}}}\,,$

die keine Lösung besitzt, da die rechte Seite ${}\leq m-2$ ist, da die ersten vier Summanden maximal ${}2$ ergeben und die weiteren durch ${}m-4$ abgeschätzt werden können.

Zur bewiesenen Aussage