Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des
ist der Einheitskreis kompakt
(Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade
und
sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von
sind. Also ist
.
Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem
Zwischenwertsatz
folgt. Dagegen ist
nicht zusammenhängend, da man
-
![{\displaystyle {}\mathbb {R} _{+}=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap [0,\infty ]=(\mathbb {R} \setminus \{0\})\cap \,]0,\infty ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c108b1296375d526ae172f3c1bc892b9c7ce2e24)
schreiben kann, so dass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist
![{\displaystyle {}\mathbb {R} \,\not \cong \mathbb {R} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc1b6f6085c633f86adc110ef81ee42bd1ab5b1)
.