Eindimensionale Mannigfaltigkeiten/R, 1-Sphäre, R punktiert/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Als abgeschlossene beschränkte Teilmenge des ${ℝ}^2$ ist der Einheitskreis kompakt (Satz von Heine-Borel). Die reelle Gerade $ℝ$ und $ℝ\setminus \{0\}$ sind hingegen nicht kompakt, da sie unbeschränkte Teilmengen von $ℝ$ sind. Also ist $S^1\cong ̸ℝ,ℝ\setminus \{0\}$.

Die reelle Gerade ist zusammenhängend, wie aus dem Zwischenwertsatz folgt. Dagegen ist $ℝ\setminus \{0\}$ nicht zusammenhängend, da man

${ℝ}_{+}=(ℝ\setminus \{0\})\cap [0,\mathrm{\infty }]=(ℝ\setminus \{0\})\cap ]0,\mathrm{\infty }]$

schreiben kann, sodass man eine sowohl offene als auch abgeschlossene nichtleere Teilmenge erhält. Also ist $ℝ\cong ̸ℝ\setminus \{0\}$.

Zur gelösten Aufgabe