Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der Inklusion ${}K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M$ aus. Die Körpererweiterung ${}K'\subseteq L$ ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger ${}x$, und ${}G\in K'[X]$ ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in ${}M[X]$ ist. Somit ist ${}G$ nach Fakt auch das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}K'$. Daher ist ${}L=M[X]/(G)$ und ${}L=K'[X]/(G)$ und insbesondere

${}\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.$

Nach der Gradformel, angewendet auf ${}K'\subseteq M\subseteq L$, folgt ${}K'=M$.

Zur bewiesenen Aussage