Einfache Körpererweiterung/Zwischenkörper/Koeffizientendarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen von der Inklusion  ${}K'=K(b_{0},\ldots ,b_{k})\subseteq M$  aus. Die Körpererweiterung  ${}K'\subseteq L$  ist ebenfalls einfach mit dem Erzeuger ${}x$, und  ${}G\in K'[X]$  ist irreduzibel, da es ja irreduzibel in ${}M[X]$ ist. Somit ist ${}G$ nach Fakt auch das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}K'$. Daher ist  ${}L=M[X]/(G)$  und  ${}L=K'[X]/(G)$  und insbesondere

${}\operatorname {grad} _{M}L=\operatorname {grad} \,(G)=\operatorname {grad} _{K'}L\,.$

Nach der Gradformel, angewendet auf  ${}K'\subseteq M\subseteq L$,  folgt  ${}K'=M$. 

Zur bewiesenen Aussage