Einheit/Keine Wurzel/Fundamentaleinheit/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist $u$ keine Einheitswurzel, da aus  $u^n=1$  direkt  $u=u^{n+1}$  folgt, dann hätte $u$ eine $n+1$-te Wurzel. Wir arbeiten in

$R^{\times }/{\mu }_{}\left(R\right)\cong {\mathbb{Z}}^m$

gemäß Fakt, und sei $v_1,\dots ,v_m$ ein System von Fundamentaleinheiten. Es ist also

$[u]=a_1[v_1]+\cdots +a_n[v_n]$

mit  $a_i\in \mathbb{Z}$.  Wenn diese Koeffizienten einen gemeinsamen Teiler  $g\ge 2$  hätten, so bedeutet dies zurückübersetzt nach $R$, dass

$\zeta u=v_1^{a_1}\cdots v_m^{a_m}={(v_1^{a_1/g}\cdots v_m^{a_m/g})}^g$

ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind die Koeffizienten teilerfremd. Nach Aufgabe

kann man dieses Tupel zu einer Basis von ${\mathbb{Z}}^m$ ergänzen.

Zur gelösten Aufgabe