Einheit/Keine Wurzel/Fundamentaleinheit/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist ${}u$ keine Einheitswurzel, da aus  ${}u^{n}=1$  direkt  ${}u=u^{n+1}$  folgt, dann hätte ${}u$ eine ${}n+1$-te Wurzel. Wir arbeiten in

${}R^{\times }/\mu _{}{\left(R\right)}\cong \mathbb {Z} ^{m}\,$

gemäß Fakt, und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ ein System von Fundamentaleinheiten. Es ist also

${}[u]=a_{1}[v_{1}]+\cdots +a_{n}[v_{n}]\,$

mit  ${}a_{i}\in \mathbb {Z}$.  Wenn diese Koeffizienten einen gemeinsamen Teiler  ${}g\geq 2$  hätten, so bedeutet dies zurückübersetzt nach ${}R$, dass

${}\zeta u=v_{1}^{a_{1}}\cdots v_{m}^{a_{m}}={\left(v_{1}^{a_{1}/g}\cdots v_{m}^{a_{m}/g}\right)}^{g}\,$

ist im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind die Koeffizienten teilerfremd. Nach Aufgabe

kann man dieses Tupel zu einer Basis von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ ergänzen.

Zur gelösten Aufgabe