Einheitsintervall/Parameterabhängige Kreisbiegung/Differenzierbar/Aufgabe

Wir betrachten für ${}0\leq u\leq {\frac {1}{2}}$ die Funktionen

$\psi _{u}\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

mit

${}\psi _{u}(s):={\begin{cases}{\begin{pmatrix}u\\-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\\\sin \left({\frac {1}{2}}\pi -4s+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}0\leq s\leq u\,,\\{\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}{\text{ für }}u\leq s\leq 1-u\,,\\{\begin{pmatrix}1-u\\{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\\\sin \left({\frac {3}{2}}\pi +4s-4+4u\right)\end{pmatrix}}{\text{ für }}1-u\leq s\leq 1\,.\end{cases}}\,$

1. Skizziere das Bild der Funktion ${}\psi _{u}$ für die Parameter

   ${}u=0,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\,.$

2. Zeige, dass die ${}\psi _{u}$ stetig sind.
3. Zeige, dass die ${}\psi _{u}$ differenzierbar sind.
4. Zeige, dass die Kurvenlänge der ${}\psi _{u}$ gleich ${}1$ ist.

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