Einheitskreis/Elementar/Einführung/Textabschnitt

Im ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist der Abstand zwischen zwei Punkten ${}P,Q\in \mathbb {R} ^{2}$ eine positive reelle Zahl (bzw. gleich ${}0$, falls die Punkte zusammenfallen). Wenn die beiden Punkte in Koordinaten gegeben sind, also ${}P=(x_{1},y_{1})$ und ${}Q=(x_{2},y_{2})$, so ist der Abstand gleich

${}d(P,Q)={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\,.$

Diese Gleichung beruht auf dem Satz des Pythagoras. Speziell besitzt jeder Punkt ${}P=(x,y)$ zum Nullpunkt ${}(0,0)$ den Abstand

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Weil die Koordinaten reelle Zahlen sind, so sind auch die Abstände reelle Zahlen (auch wenn man mit rationalen Koordinaten startet, ergeben sich über die Quadratwurzel auch irrationale Zahlen). Wenn ein Punkt ${}M$ und eine positive reelle Zahl ${}r$ fixiert sind, so nennt man die Menge aller Punkte der Ebene, die zu ${}M$ den Abstand ${}r$ besitzen, den Kreis um ${}M$ mit Radius ${}r$. In Koordinaten sieht die Definition folgendermaßen aus.

Definition

Es sei ${}M=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und ${}r\in \mathbb {R} _{+}$. Dann nennt man die Menge

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$

den Kreis (oder die Kreislinie oder die ${}1$-Sphäre) mit dem Mittelpunkt ${}M$ und dem Radius ${}r$.

Von Kreislinie spricht man, um zu betonen, dass man nicht den Vollkreis (die Kreisscheibe) meint, sondern nur den Rand. Alle Kreise sind wesensgleich, es kommt für die wichtigsten Eigenschaften des Kreises nicht auf den Mittelpunkt und nicht auf den Radius an. Von daher ist der Einheitskreis der einfachste Kreis, der alle Kreise repräsentiert.

Definition

Die Menge

${}E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

heißt der Einheitskreis.

Es ist bekannt, dass der Kreisbogen des Einheitskreises die Länge ${}2\pi$ und den Flächeninhalt ${}\pi$ besitzt. Dies sind nichttriviale Aussagen, und zwar sowohl strategisch als auch mathematisch. Das strategische Problem ist hier, was man als Definition nimmt und was man dann unter Bezug auf die Definitionen beweisen kann und wie. Sowohl die Länge einer gekrümmten Kurve als auch der Flächeninhalt sind zwar intuitiv zugängliche, aber letztlich doch recht schwer zu fundierende Begriffe. Dasselbe trifft auf den Winkelbegriff zu. Wir werden hier mit einem naiv-intuitiven Begriff von Kurvenlänge arbeiten und darauf aufbauend den Winkel und die trigonometrischen Funktionen einführen.

Definition

Unter der Zahl ${}\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.

Eine rationale Approximation der Zahl ${}\pi$ auf einem ${}\pi$-Pie.

Der numerische Wert von ${}\pi$ ist etwa

${}\pi =3,1415926\ldots \,.$

Es handelt sich um eine transzendente Zahl, also keine algebraische Zahl (und erst recht keine rationale Zahl).