Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel

Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge

$\{(x,y)\mid x^2+y^2=1,-1\le x\le 1,y\ge 0\}.$

Zu gegebenem $x$, $-1\le x\le 1$, gibt es genau ein $y$, das diese Bedingung erfüllt, nämlich  $y=\sqrt{1-x^2}$.  Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion $x\mapsto \sqrt{1-x^2}$ über dem Intervall $[-1,1]$, also gleich

${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx.$

Mit der Substitution

$x=\cos t\text{ bzw. }t=\arccos x$

(wobei $\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$ nach Fakt bijektiv ist), erhält man unter Verwendung von Beispiel

$\begin{array}{cc}{\int }_a^b\sqrt{1-x^2}dx& ={\int }_{\arccos a}^{\arccos b}\sqrt{1-{\cos }^{2}t}(-\sin t)dt\\ & =-{\int }_{\arccos a}^{\arccos b}{\sin }^{2}tdt\\ & =\frac{1}{2}(\sin t\cos t-t){|}_{\arccos a}^{\arccos b}.\end{array}$

Insbesondere ist

$\frac{1}{2}(x\cdot \sin (\arccos x)-\arccos x)=\frac{1}{2}(x\cdot \sqrt{1-x^2}-\arccos x)$

eine Stammfunktion zu $\sqrt{1-x^2}$. Daher ist

$\begin{array}{cc}{\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx& =\frac{1}{2}(x\cdot \sqrt{1-x^2}-\arccos x){|}_{-1}^1\\ & =\frac{1}{2}(-\arccos 1+\arccos (-1))\\ & =\pi /2.\end{array}$