Einheitskreis/K/Geradenbündel zu (X,1-Y)/Beispiel/Kreisgleichung/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen zuerst ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {a}}$, indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${}{\mathfrak {b}}$ im Restklassenring zu ${}{\mathfrak {a}}$ gleich ${}0$ sind. Es ist

${}{\begin{aligned}X^{2}+Y^{2}&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}W^{2}\\&={\left(2Z^{2}-1\right)}^{2}+4Z^{2}{\left(1-Z^{2}\right)}\\&=4Z^{4}-4Z^{2}+1+4Z^{2}-4Z^{4}\\&=1.\end{aligned}}$

Ferner ist

${}{\begin{aligned}YW&=2ZW^{2}\\&=2Z(1-Z^{2})\\&=Z(2-2Z^{2})\\&=Z(1-2Z^{2}+1)\\&=Z(1-X)\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}W(1+X)&=W(2Z^{2})\\&=2WZ^{2}\\&=ZY.\end{aligned}}$

Die Inklusion ${}{\mathfrak {c}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ ist klar, da ein Erzeuger weggelassen wird.

Wir zeigen schließlich die Inklusion ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {c}}$, indem wir zeigen, dass die Erzeuger aus ${}{\mathfrak {a}}$ im Restklassenring zu ${}{\mathfrak {c}}$ gleich ${}0$ sind. In diesem Restklassenring gilt

${}ZX=Z-YW\,$

und

${}WX=YZ-W\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}X&=X\cdot 1\\&=X(Z^{2}+W^{2})\\&=Z^{2}-ZYW+YZW-W^{2}\\&=Z^{2}-W^{2}\\&=2Z^{2}-1\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}Y&=Y\cdot 1\\&=Y(Z^{2}+W^{2})\\&=WXZ+WZ+ZW-ZXW\\&=2ZW.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe