Einheitskreis/Punktepaar/Automorphismus/Aufgabe/Lösung

Es genügt, für die beiden Punkte ${}(1,0)$ und ${}P=(a,b)\in V$ einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der ${}(1,0)$ in ${}P$ überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen (bzw. des Umkehrmorphismus) erhalten kann. Wir betrachten die bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon K^{2}\rightarrow K^{2}$, die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

gegeben ist. Diese bildet den Punkt ${}(1,0)$ auf ${}(a,b)$ ab. Ein Punkt ${}(x,y)\in V$ wird dabei auf ${}(ax-by,bx+ay)$ abgebildet. Für den Bildpunkt gilt

${}{\begin{aligned}(ax-by)^{2}+(bx+ax)^{2}&=a^{2}x^{2}-2abxy+b^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+2abxy+a^{2}y^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})x^{2}+(a^{2}+b^{2})y^{2}\\&=x^{2}+y^{2}\\&=1,\end{aligned}}$

d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert ${}\varphi$ eine (algebraische) Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$.

Entsprechend liefert die durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ gegebene inverse Abbildung einen inversen Morphismus, sodass insgesamt ein Automorphismus vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe