Einheitswurzeln/Eindimensional/Polynomring/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper, der eine $r$-te primitive Einheitswurzel $\zeta$ besitzt. Wir betrachten die in Beispiel beschriebene Operation von

$\mathbb{Z}/(r)\cong {\mu }_r\left(K\right)$

auf $K$ durch skalare Multiplikation. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring $K[X]$ ist dadurch gegeben, dass  ${\zeta }^i\in {\mu }_r\left(K\right)$  durch $X\mapsto {\zeta }^{i}X$ wirkt. Somit wird eine Potenz $X^j$ auf ${\zeta }^{ij}{X}^j$ abgebildet. Insbesondere ist das Polynom $X^r$ fix unter dieser Gruppenoperation.