Einschaliges Hyperboloid/Weingartenabbildung/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Die Jacobi-Matrix des Einheitsnormalenfeldes

$N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}\,$

ist

${\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}.$

Die Weingartenabbildung ist die negierte Einschränkung dieser Abbildung auf den Tangentialraum an die Fläche, wobei Fakt sicherstellt, dass wir wieder im Tangentialraum landen. Wir setzen ${}x\neq 0$ voraus und arbeiten mit der Basis ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ des Tangentialraumes. Es ist

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}y{\left(y^{2}+z^{2}\right)}+x^{2}y\\-xy^{2}-x{\left(x^{2}+z^{2}\right)}\\0\end{pmatrix}}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

sodass wir unmittelbar den Eigenvektor ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}$ mit dem Eigenwert ${}-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ gefunden haben. Ferner ist

${\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z{\left(y^{2}+z^{2}\right)}-x^{2}z\\-2xyz\\xz^{2}-x{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\end{pmatrix}}=2yz{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}+{\left(z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)}{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}=2yz{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}\,.$

Somit wird die Weingartenabbildung bezüglich dieser Basis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}&-2yz{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\\0&{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Einen zweiten Eigenvektor im Tangentialraum erhält man (in Hinblick auf Fakt) am einfachsten, wenn man zum ersten Eigenvektor und zum Normalenvektor einen senkrechten Vektor bestimmt. Dies ergibt den Vektor ${}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}$, und in der Tat ist (ohne den skalaren Vorfaktor)

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\xz&yz&-x^{2}-y^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}xz{\left(y^{2}+z^{2}\right)}-xy^{2}z-xz{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\\-x^{2}yz+yz{\left(x^{2}+z^{2}\right)}-yz{\left(x^{2}+y^{2}\right)}\\x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}-{\left(x^{2}+y^{2}\right)}^{2}\end{pmatrix}}\\&={\left(-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}\\&=-{\begin{pmatrix}xz\\yz\\x^{2}+y^{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Der Eigenwert ist also ${}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$ (dies ist auch schon aus der beschreibenden Dreiecksmatrix ablesbar).