Einschaliges Hyperboloid/Tangentenebene/Normalenvektor/Beispiel

Wir betrachten die Funktion $h : ℝ^{3} ⟶ ℝ$ , $(x, y, z) ⟼ x^{2} + y^{2} - z^{2} - 1$ und dazu die Faser über $0$ , also das einschalige Hyperboloid $Y$ . Der Gradient zu $h$ in einem Punkt $(x, y, z)$ ist durch $(\begin{matrix} 2 x \\ 2 y \\ - 2 z \end{matrix})$ und das totale Differential ist entsprechend durch $(2 x, 2 y, - 2 z)$ gegeben, daher ist $h$ in jedem Punkt von $Y$ regulär. Der Tangentialraum in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist $(\begin{matrix} y \\ - x \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} z \\ 0 \\ x \end{matrix})$ (bei $x = 0$ muss man den zweiten Vektor durch $(\begin{matrix} 0 \\ z \\ y \end{matrix})$ ersetzen). Das Einheitsnormalenfeld ist

\begin{matrix} N ((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})) & = \frac{Grad h (x, y, z)}{‖ Grad h (x, y, z) ‖} \\ = {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} (\begin{matrix} x \\ y \\ - z \end{matrix}) . \end{matrix}