Einschaliges Hyperboloid/Tangentenebene/Normalenvektor/Beispiel

Ein einschaliges Hyperboloid.

Wir betrachten die Funktion ${}h\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}-z^{2}-1$ und dazu die Faser über ${}0$, also das einschalige Hyperboloid ${}Y$. Der Gradient zu ${}h$ in einem Punkt ${}(x,y,z)$ ist durch ${}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}}$ und das totale Differential ist entsprechend durch ${}\left(2x,\,2y,\,-2z\right)$ gegeben, daher ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Der Tangentialraum in einem Punkt ist der Kern des totalen Differentials, eine Basis ist ${}{\begin{pmatrix}y\\-x\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\0\\x\end{pmatrix}}$ (bei ${}x=0$ muss man den zweiten Vektor durch ${}{\begin{pmatrix}0\\z\\y\end{pmatrix}}$ ersetzen). Das Einheitsnormalenfeld ist

${}{\begin{aligned}N({\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}})&={\frac {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}{\Vert {\operatorname {Grad} \,h(x,y,z)}\Vert }}\\&={\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\-z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$