Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

1. Ein Element ${}u$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.
2. Ein Untergruppe ${}H\subseteq G$ ist ein Normalteiler, wenn

   ${}xH=Hx\,$

   für alle ${}x\in G$ ist.

3. Ein Element ${}z\in K$ heißt ${}n$-te Einheitswurzel, wenn ${}z^{n}=1$ ist.
4. Die Charakteristik eines Körpers ${}K$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{K}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.
5. Eine Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ heißt algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ gibt mit ${}P(z)=0$.
6. Bei einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ nennt man die ${}K$-(Vektorraum-)Dimension von ${}L$ den Grad der Körpererweiterung.
7. Die Gerade ${}G$ heißt aus ${}T\subseteq E$ elementar konstruierbar, wenn es zwei verschiedene Punkte ${}P,Q\in T$ gibt, so dass ${}G$ die Verbindungsgerade dieser Punkte ist.
8. Man sagt, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

   ${}e^{2\pi i/n}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\,$

   eine konstruierbare Zahl ist.

Zur gelösten Aufgabe