Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Ein Körper ${}K$ ist ein kommutativer Ring, wenn ${}K\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element in ${}K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
2. Ein kommutativer, nullteilerfreier, von null verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.
3. Der Index ist die Anzahl der (Links- oder Rechts-)Nebenklassen von ${}H$ in ${}G$.
4. Die Quotientenmenge

   $G/H$

   mit der eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$.

5. Die Einheitengruppe in ${}R$ ist die Teilmenge aller Einheiten in ${}R$.
6. Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
7. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
8. Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ vom Grad zwei heißt eine quadratische Körpererweiterung.

Zur gelösten Aufgabe