Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Die Teilmenge ${}S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn ${}S$ leer ist oder es einen Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt ${}P\in K^{n}$ mit

   ${}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$

   gibt.

2. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$-Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
   1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
   2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
   3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.
3. Die Relation ${}R$ heißt antisymmetrisch, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRx$ stets ${}x=y$ folgt.
4. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

   ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

5. Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus ${}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$.
6. Der Logarithmus zur Basis ${}b$ ist die Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Zur gelösten Aufgabe