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Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe/Lösung
Die Teilmenge
S
⊆
K
n
{\displaystyle {}S\subseteq K^{n}}
heißt affiner Unterraum , wenn
S
{\displaystyle {}S}
leer ist oder es einen
Untervektorraum
U
⊆
K
n
{\displaystyle {}U\subseteq K^{n}}
und einen Punkt
P
∈
K
n
{\displaystyle {}P\in K^{n}}
mit
S
=
P
+
U
=
{
P
+
v
∣
v
∈
U
}
{\displaystyle {}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,}
gibt.
Mit
B
i
j
{\displaystyle {}B_{ij}}
bezeichnen wir diejenige
n
×
n
{\displaystyle {}n\times n}
-Matrix ,
die an der Stelle
(
i
,
j
)
{\displaystyle {}(i,j)}
den Wert
1
{\displaystyle {}1}
und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen .
V
i
j
:=
E
n
−
B
i
i
−
B
j
j
+
B
i
j
+
B
j
i
{\displaystyle {}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}}
.
S
k
(
s
)
:=
E
n
+
(
s
−
1
)
B
k
k
für
s
≠
0
{\displaystyle {}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0}
.
A
i
j
(
a
)
:=
E
n
+
a
B
i
j
für
i
≠
j
und
a
∈
K
{\displaystyle {}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K}
.
Die Relation
R
{\displaystyle {}R}
heißt antisymmetrisch , wenn aus
x
R
y
{\displaystyle {}xRy}
und
y
R
x
{\displaystyle {}yRx}
stets
x
=
y
{\displaystyle {}x=y}
folgt.
Man sagt, dass die Folge gegen
x
{\displaystyle {}x}
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
ϵ
∈
K
{\displaystyle {}\epsilon \in K}
,
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
,
gibt es ein
n
0
∈
N
{\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }
derart, dass für alle
n
≥
n
0
{\displaystyle {}n\geq n_{0}}
die Beziehung
|
x
n
−
x
|
≤
ϵ
{\displaystyle {}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,}
gilt.
Eine irrationale Zahl ist eine Zahl aus
R
∖
Q
{\displaystyle {}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
.
Der
Logarithmus zur Basis
b
{\displaystyle {}b}
ist die
Umkehrfunktion
zur
reellen Exponentialfunktion
zur Basis
b
{\displaystyle {}b}
.
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