Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei

   ${}ax+by=c\,$

   eine lineare Gleichung in zwei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b)\neq 0$. Dann ist die Lösungsmenge eine Gerade

   in ${}K^{2}$. Als Richtungsvektor kann man den Vektor ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.
2. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper mit der Eigenschaft, dass es ein ${}a>0$ und ein ${}n_{0}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   ${}x_{n}\geq a\,$

   gilt. Dann ist auch die durch (für ${}n$ hinreichend groß)

   ${}y_{n}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

   gegebene inverse Folge eine Cauchy-Folge.
3. Für ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
   2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}D$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}f(x)$.

Zur gelösten Aufgabe