Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $K$ ein Körper und $S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über $K$ in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$. Es sei $x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung $G$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten $a$ vorkommt. Dann lässt sich jede von $G$ verschiedene Gleichung $H$ durch eine Gleichung $H^{\prime }$ ersetzen, in der $x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem $S^{\prime }$, das aus $G$ und den Gleichungen $H^{\prime }$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem $S$ ist.
2. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

   $\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

   über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^n$

   (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).
3. Durch die Festlegung

   $x\sim y,$

   wenn

   $f(x)=f(y),$

   wird eine Äquivalenzrelation auf $M$ definiert.

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