Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 4 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 6 }

\renewcommand{\aneun}{ 8 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.

}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}

}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}

}{Der \stichwort {ganze Abschluss} {} zu einer Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kommutativer Ringe.

}{Die \stichwort {Konjugation} {} in einem quadratischen Zahlbereich $A_D$.

}{Eine \stichwort {einfache} {} binäre quadratische Form. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: \aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.} } {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}} }{Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl
\mathl{k \in \Z}{} definiert man das Legendre-Symbol durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left( \frac{ k }{ p }\right) }
{ \defeq} {\begin{cases} 1, \text{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\ - 1, \text{ falls } k \text{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}. \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} }{Eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} der Form
\mathl{2^n-1}{} heißt Mersennesche Primzahl. }{Unter dem ganzen Abschluss von $R$ in $S$ versteht man die Menge aller Elemente
\mathl{x \in S}{,} die \definitionsverweis {ganz}{}{} über $R$ sind, }{Der Automorphismus
\mathdisp {a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D}} { }
auf $A_D$ wird als Konjugation bezeichnet. }{Eine \definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2+bXY+cY^2}{} heißt einfach, wenn die Koeffizienten
\mathl{a,b,c}{} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -1 }{ p }\right) }
{ =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} } }
{ =} { \begin{cases} 1 \, , \text{ falls } p = 1 \mod 4 \, ,\\ -1 \, , \text{ sonst } \text{(also bei } p = 3 \mod 4 \mbox{)} \, .\end{cases} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}{Es gilt die asymptotische Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi(x) }
{ \sim} { \frac{x}{\ln (x)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln (x)} } }
{ =} { \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\pi(x) \ln (x)}{x} }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}{Sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{.}{} Dann ist die \definitionsverweis {Diskriminante}{}{} von $A_D$ gleich
\mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }
}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+2+1)}
{

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071) }
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.

}
{


a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{109 }
{ =} { 5 \cdot 19 +14 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{19 }
{ =} { 1 \cdot 14 +5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 }
{ =} {1 \cdot 4 +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1 }
{ =} { 5 - 1 \cdot 4 }
{ =} { 5 - 1 \cdot { \left( 14- 2 \cdot 5 \right) } }
{ =} { 3 \cdot 5 -1 \cdot 14 }
{ =} { 3 \cdot { \left( 19- 1 \cdot 14 \right) } -1 \cdot 14 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 3 \cdot 19 -4 \cdot 14 }
{ =} { 3 \cdot 19 -4 { \left( 109- 5\cdot 19 \right) } }
{ =} { 23 \cdot 19 -4 \cdot 109 }
{ } {}
} {}{.}


b) Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1- 23 \cdot 19 }
{ =} { - 4 \cdot 109 }
{ =} { -436 }
{ =} { 1635 }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $1$ und modulo $109$ den Rest $0$, d.h. $1635$ entspricht dem Restepaar
\mathl{(1,0)}{.}

Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{23 \cdot 19 }
{ =} { 4 \cdot 109 +1 }
{ =} { 437 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $0$ und modulo $109$ den Rest $1$, d.h. $437$ entspricht dem Restepaar
\mathl{(0,1)}{.}


c) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (5,10) }
{ =} { 5 \cdot (1,0) + 10 \cdot (0,1) }
{ =} { 5 \cdot 1635 +10 \cdot 437 }
{ =} { 8175 + 4370 }
{ =} { 12545 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {119 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.

}
{

Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mathl{x\neq 0}{,} das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Damit ist
\mathl{1=xx^{-1}\in I}{} und damit
\mathl{I=R}{.}

Sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} $Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mathl{1 \in Rx}{} ist. Das bedeutet also
\mathl{1=x r}{} für ein
\mathl{r \in R}{,} so dass $x$ eine Einheit ist.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{

Seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.

a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.


b) Sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?


c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n -1 }
{ =} { { \left( X^b \right) }^a - 1 }
{ =} { { \left( X^b-1 \right) } { \left( { \left( X^b \right) }^{a-1} + { \left( X^b \right) }^{a-2} + \cdots + { \left( X^{b} \right) }^2 + X^b+ 1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist
\mathl{X^b-1}{} \zusatzklammer {und ebenso
\mathl{X^a-1}{}} {} {} ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.}

b) Dies ist nicht der Fall. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {8 }
{ =} {4 \cdot 2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^8 -1 }
{ =} { (X^4-1) (X^4+1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Das Polynom
\mathl{X^4+1}{} hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von
\mathl{X^2-1}{.} Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von
\mathl{X^8-1}{.}

c) Da
\mathl{2,3,5}{} Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass
\mathl{2^2-1=3,\, 2^3-1=7}{} und
\mathl{2^5-1=31}{} Teiler von
\mathl{2^{30} -1}{} sind. Daher sind
\mathl{3,7,31}{} Primteiler von
\mathl{2^{30} -1}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.

}
{

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left(\frac{563}{1231}\right) }
{ =} {(-1) \left(\frac{1231}{563}\right) }
{ =} {(-1) \left(\frac{105}{563}\right) }
{ =} {(-1) \left(\frac{3}{563}\right) \left(\frac{5}{563}\right) \left(\frac{7}{563}\right) }
{ =} {(-1) (-1) \left(\frac{563}{3}\right) \left(\frac{563}{5}\right)(-1) \left(\frac{563}{7}\right) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1) \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{3}{7}\right) }
{ =} {(-1) (-1) (-1)(-1) \left(\frac{7}{3} \right) }
{ =} {1 }
{ } {}
} {}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Zeige, dass es \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} der multiplikativen Gruppe
\mathl{( \Q^{\times}, \cdot, 1 )}{} gibt.

}
{

Zu einer jeden Teilmenge $T$ von Primzahlen betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(T) }
{ =} { { \left\{ \prod_{p \in T} p^{r_p} \mid r_p \in \Z \right\} } }
{ \subseteq} { \Q^{\times} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei in den Produkten stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_p }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu
\mathl{\prod_{p \in T} p^{r_p}}{} ist
\mathl{\prod_{p \in T} p^{- r_p}}{,} also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes $T$ um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T }
{ \neq} {S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei \mathkor {} {p \in S} {} {p \notin T} {,} auch
\mathl{p \notin G(T)}{} aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+2+2)}
{

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R_+ \times S^1 }
{ \cong} { {\mathbb C}^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei einem Paar
\mathl{(r,s)}{} die komplexe Zahl
\mathl{r \cdot s}{} entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus \maabbeledisp {} { \Q_+ \times S^1_\Q } { \Q[ { \mathrm i}] ^{\times} } {(r,s)} { r \cdot s } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist. }{Zeige, dass jedes Quadrat aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{} zum Bild gehört. }{Man gebe ein Beispiel für ein
\mathl{z \in \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{,} das kein Quadrat ist und zum Bild gehört. }

}
{

\aufzaehlungdrei{Wir behaupten, dass $2+ {\mathrm i}$ nicht zum Bild gehört. Nehmen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2+ {\mathrm i} }
{ =} { r \cdot s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{s \in S^1_\Q}{} an, so hat $r \in \Q_+$ die Norm $5$. Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch $5$ besitzt in $\Q$ keine Quadratwurzel. }{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} {(x+y{\mathrm i})^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{x+y{\mathrm i} \in \Q [ {\mathrm i}]}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+y{\mathrm i})^2 }
{ =} {(x^2+y^2 ) { \frac{ (x+y{\mathrm i})^2 }{ x^2+y^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Norm des rechten Faktors ist \zusatzklammer {wegen der Multiplikativität der Norm} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N { \left( { \frac{ (x+y{\mathrm i})^2 }{ x^2+y^2 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ (x^2+y^2)^2 }{ (x^2+y^2)^2 } } }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass also eine gesuchte Darstellung vorliegt. }{Die Zahl $3$ ist nach Fakt \definitionsverweis {prim}{}{} in
\mathl{\Z[{\mathrm i} ]}{} und somit kein Quadrat in
\mathl{\Z[{\mathrm i} ]}{.} Nach Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt ist $3$ auch kein Quadrat in $\Q[ {\mathrm i} ]$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 }
{ =} {3 \cdot 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gehört die $3$ aber zum Bild. }

}





\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.

}
{

Sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ 2^{k-1} { \left( 2^k-1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{2^k-1}{} prim. Dann sind die von $n$ verschiedenen Teiler von $n$ durch
\mathdisp {2^{i},\, i=0 , \ldots , k-1, \text{ und } 2^{i} (2^k-1) ,\, i=0 , \ldots , k-2} { }
gegeben. Daher ist ihre Summe gleich
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \sum_{i = 0}^{k-1} 2^{i} + (2^k-1) \sum_{i = 0}^{k-2} 2^{i} }
{ =} {2^k-1 + { \left( 2^k-1 \right) } { \left( 2^{k-1} -1 \right) } }
{ =} { { \left( 2^k-1 \right) } 2^{k-1} }
{ =} {n }
{ } { }
} {}{}{,} also ist $n$ vollkommen. Sei umgekehrt $n$ vollkommen. Wir setzen \zusatzklammer {in Anlehnung an das Ziel} {} {} an
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {2^{k-1} u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $u$ ungerade und
\mathl{k \geq 2}{,} da ja $n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma(n) }
{ =} { \sigma { \left( 2^{k-1} u \right) } }
{ =} { \sigma { \left( 2^{k-1} \right) } \sigma(u) }
{ =} { { \left( 2^k-1 \right) } \sigma(u) }
{ } { }
} {}{}{} und andererseits wegen der Vollkommenheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma (n) }
{ = }{2n }
{ = }{2^{k} u }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Insgesamt ergibt sich also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( 2^k-1 \right) } \sigma(u) }
{ = }{ 2^{k} u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da
\mathl{2^k-1}{} ungerade ist, gilt
\mathdisp {\sigma(u) =x 2^{k} \text{ und } u = x(2^k-1)} { . }
Die Annahme
\mathl{x >1}{} führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler
\mathl{1,x,x(2^k -1)}{} von $u$ gibt, was zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma(u) }
{ \geq} { { \left( 2^k-1 \right) } x+1+x }
{ >} {2^k x }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(u) }
{ = }{2^k }
{ = }{u+1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Teilersumme einer Zahl $u$ ist aber gleich
\mathl{u+1}{} nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{

Zeige, dass in
\mathl{\Z/(29)}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 +z^4 }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.

}
{

Die Einheitengruppe von
\mathl{\Z/(29)}{} ist zyklisch der Ordnung $28$, also isomorph zur additiven Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(28) }
{ =} { \Z/(7) \times \Z/(4) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher gibt es neben der $0$ noch sieben weitere vierte Potenzen in
\mathl{\Z/(29)}{.} Diese sind \zusatzklammer {wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen} {} {}
\mathdisp {1, 7 \, (= 8^4),-4 \, (=25= 16^4) , -5 \, (=24=4^4) , -6 \, (=23=3^4), -9 \, (=20= 6^4 ), -13 \, (=16= 2^4)} { . }
Eine Dreiersumme mit einer $0$ ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als $29$ und größer als
\mathl{-29}{} und nicht $0$. Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir $2,8,14$, doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen \mathkor {} {-8} {und} {-26} {,} was sich durch eine positive Zahl nicht zu $0$ ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 \cdot -9 }
{ =} { -27 }
{ >} { -29 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} muss auf jeden Fall die
\mathl{-13}{} vorkommen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-13 - 9-9 }
{ = }{-31 }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die andere Kombinationen mit nur einer $-13$ sind größer als $-31$. Mit zweimal $-13$ ist es auch nicht möglich, da $-3$ nicht zur Liste gehört, und dreimal $-13$ geht auch nicht.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Primideal}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.

}
{

Nach Fakt ist ${\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} und somit ist der Restklassenring $R/ {\mathfrak p}$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} und zwar handelt es sich nach Fakt um einen \definitionsverweis {endlichen Körper}{}{.} Nach Fakt ist die Anzahl gleich $p^n$ mit einer Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Für welche \definitionsverweis {quadratfreien Zahlen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} {1 \mod 4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{?}

}
{

Die Norm von
\mathl{{ \frac{ 1 +\sqrt{D} }{ 2 } }}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 +\sqrt{D} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 -\sqrt{D} }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 1 - D }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} {4 r+ 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist dies gleich
\mathl{- r}{.} Damit eine Einheit vorliegt, muss dies eine Einheit in $\Z$ sein, also gleich $1$ oder $-1$. Dies bedeutet
\mathl{D= -3}{} oder
\mathl{D= 5}{.}

}





\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } {} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit $\nu(f+g) \geq \min\{ \nu(f) , \nu(g)\}$ für alle $f,g \in K^\times$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{

Zuerst zeigen wir, dass $R$ ein Unterring des Körpers $K$ ist. Es ist
\mathl{0 \in R}{.} Da $\nu$ ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
\mathl{\nu(1)=0}{} sein. Für zwei Elemente
\mathl{f,g \in R}{} ist
\mathl{\nu(f), \nu(g) \geq 0}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\nu(f \cdot g) }
{ = }{ \nu(f) + \nu(g) }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(f+g) }
{ \geq} { \min\{ \nu(f) , \nu(g)\} }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Voraussetzung, so dass $R$ multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(-1) + \nu(-1) }
{ = }{\nu ( (-1)^2) }
{ = }{ \nu (1) }
{ = }{0 }
{ }{ }
} {}{}{,} woraus aber
\mathl{\nu(-1)=0}{} und somit
\mathl{-1 \in R}{} folgt. Also gehören auch die Negativen zu $R$, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.

Weiterhin muss $R$ ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m } }
{ \defeq} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 1 \right\} } \cup \{0\} }
{ \subseteq} { R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das einzige maximale Ideal ist. Die $0$ gehört dazu und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g) }
{ \geq }{ \min\{ \nu(f) , \nu(g)\} }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Menge additiv abgeschlossen. Für
\mathl{f \in {\mathfrak m}}{} und
\mathl{g \in R}{} ist
\mathl{\nu(f) \geq 1}{} und
\mathl{\nu(g) \geq 0}{} und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\nu(gf) }
{ = }{ \nu(g) + \nu(f) }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so dass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.

Das Komplement
\mathl{R \setminus {\mathfrak m}}{} besteht aus allen Elementen
\mathl{h \in K}{} mit
\mathl{\nu(h)=0}{.} Dann ist aber auch
\mathl{\nu(h^{-1})=0}{} und damit
\mathl{h^{-1} \in R}{,} d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist $\mathfrak m$ maximal.

Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Sei hierzu
\mathl{p \in K}{} ein Element mit
\mathl{\nu(p)=1}{,} was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass $p$ prim ist. Es gilt generell, dass $y$ ein Vielfaches von $x$ \zusatzklammer {\mathlk{x,y \in R}{}} {} {} ist genau dann, wenn
\mathl{\nu(y) \geq \nu(x)}{} ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu
\mathl{y/x \in R}{} äquivalent ist. Aus
\mathl{p {{|}} xy}{} mit
\mathl{x,y \in R}{,} folgt nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{\nu(p) }
{ \leq }{ \nu(xy) }
{ = }{ \nu(x) + \nu(y) }
{ }{ }
} {}{}{} und dann muss
\mathl{\nu(x) \geq 1}{} oder
\mathl{\nu(y) \geq 1}{} sein, so dass eines ein Vielfaches von $p$ ist. Also ist $p$ prim.

Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element
\mathl{x \in R}{} mit
\mathl{n=\nu(x)}{} assoziiert zu $p^n$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen $0$ und
\mathbed {(p^n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} vor.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_{-5} }
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D = -5}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{(2,1+\sqrt{-5}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring
\mathl{A_{-5}/{\mathfrak a}}{.}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_{-5} }
{ =} { \Z[X]/(X^2 +5) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A_{-5}/ {\mathfrak a} }
{ =} { (\Z[X](X^2+5)) /(2, 1+X) }
{ =} {\Z[X]/(2,1+X,X^2+5) }
{ =} {\Z/(2)[X]/(X+1) }
{ =} {\Z/(2) }
} {} {}{,} da man $X$ durch $1$ ausdrücken kann. Der Restklassenring besitzt also $2$ Elemente.

}





\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g} }
{ =} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} }
{ =} { {\mathfrak f}^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} \cdot {\mathfrak f} }
{ \subseteq} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist unmittelbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ \subseteq} { {\mathfrak g}^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zum Beweis der anderen Inklusion sei
\mathl{h \in {\mathfrak g}^{-1}}{,} also
\mathl{h \in Q(R)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h {\mathfrak g} }
{ \subseteq} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}{\mathfrak f} }
{ =} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beinhaltet insbesondere, dass es Elemente
\mathl{g_1 , \ldots , g_n \in {\mathfrak g}}{} und
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in {\mathfrak f}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i=1}^n g_if_i }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h }
{ =} {h \cdot 1 }
{ =} { h \cdot { \left( \sum_{i=1}^n g_if_i \right) } }
{ =} { \sum_{i=1}^n ( h g_i) f_i }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mathl{hg_i \in R}{} bedeutet dies, dass $h$ zu dem von $f_i$ erzeugten gebrochenen Ideal, also zu ${\mathfrak f}$, gehört.

}