Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Das \stichwort {Legendre-Symbol} {.}
}{Eine \stichwort {Mersennesche Primzahl} {.}
}{Der
\stichwort {ganze Abschluss} {}
zu einer Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommutativer Ringe.
}{Die \stichwort {Konjugation} {} in einem quadratischen Zahlbereich $A_D$.
}{Eine \stichwort {einfache} {} binäre quadratische Form. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.}
} {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}}
}{Für eine ungerade Primzahl $p$ und eine zu $p$ teilerfremde Zahl
\mathl{k \in \Z}{} definiert man das Legendre-Symbol durch
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \left( \frac{ k }{ p }\right)
}
{ \defeq} {\begin{cases} 1, \text{ falls } k \text{ quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}, \\
- 1, \text{ falls } k \text{ kein quadratischer Rest modulo } p \text{ ist}.
\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}{Eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
der Form
\mathl{2^n-1}{} heißt Mersennesche Primzahl.
}{Unter dem ganzen Abschluss von $R$ in $S$ versteht man die Menge aller Elemente
\mathl{x \in S}{,} die
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $R$ sind,
}{Der Automorphismus
\mathdisp {a+b \sqrt{D} \longmapsto a -b \sqrt{D}} { }
auf $A_D$ wird als Konjugation bezeichnet.
}{Eine
\definitionsverweis {binäre quadratische Form}{}{}
\mathl{aX^2+bXY+cY^2}{}
heißt
einfach,
wenn die Koeffizienten
\mathl{a,b,c}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der \stichwort {Primzahlsatz} {.}}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -1 }{ p }\right)
}
{ =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} }
}
{ =} { \begin{cases} 1 \, , \text{ falls } p = 1 \mod 4 \, ,\\ -1 \, , \text{ sonst } \text{(also bei } p = 3 \mod 4 \mbox{)} \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}{Es gilt die asymptotische Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi(x)
}
{ \sim} { \frac{x}{\ln (x)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{ \frac{x}{\ln (x)} }
}
{ =} { \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\pi(x) \ln (x)}{x}
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
von $A_D$ gleich
\mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+2+1)}
{
a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der $1$ für die beiden Zahlen $19$ und $109$.
b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(2071)
}
{ \cong} { \Z/(19) \times \Z/(109)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Restklasse modulo $2071$ entspricht dem Restklassenpaar $(1 ,0)$ und welche dem Paar $( 0,1 )$?
c) Bestimme diejenige Restklasse modulo $2071$, die modulo $19$ den Rest $5$ hat und die modulo $109$ den Rest $10$ hat.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{109
}
{ =} { 5 \cdot 19 +14
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{19
}
{ =} { 1 \cdot 14 +5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5
}
{ =} {1 \cdot 4 +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{1
}
{ =} { 5 - 1 \cdot 4
}
{ =} { 5 - 1 \cdot { \left( 14- 2 \cdot 5 \right) }
}
{ =} { 3 \cdot 5 -1 \cdot 14
}
{ =} { 3 \cdot { \left( 19- 1 \cdot 14 \right) } -1 \cdot 14
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 3 \cdot 19 -4 \cdot 14
}
{ =} { 3 \cdot 19 -4 { \left( 109- 5\cdot 19 \right) }
}
{ =} { 23 \cdot 19 -4 \cdot 109
}
{ } {}
}
{}{.}
b) Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1- 23 \cdot 19
}
{ =} { - 4 \cdot 109
}
{ =} { -436
}
{ =} { 1635
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $1$ und modulo $109$ den Rest $0$, d.h. $1635$ entspricht dem Restepaar
\mathl{(1,0)}{.}
Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{23 \cdot 19
}
{ =} { 4 \cdot 109 +1
}
{ =} { 437
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Zahl hat modulo $19$ den Rest $0$ und modulo $109$ den Rest $1$, d.h. $437$ entspricht dem Restepaar
\mathl{(0,1)}{.}
c) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (5,10)
}
{ =} { 5 \cdot (1,0) + 10 \cdot (0,1)
}
{ =} { 5 \cdot 1635 +10 \cdot 437
}
{ =} { 8175 + 4370
}
{ =} { 12545
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {119
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{
Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xx^{-1}
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ Rx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Das bedeutet also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xr
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass $x$ eine Einheit ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n -1
}
{ =} { { \left( X^b \right) }^a - 1
}
{ =} { { \left( X^b-1 \right) } { \left( { \left( X^b \right) }^{a-1} + { \left( X^b \right) }^{a-2} + \cdots + { \left( X^{b} \right) }^2 + X^b+ 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathl{X^b-1}{}
\zusatzklammer {und ebenso
\mathl{X^a-1}{}} {} {}
ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.}
b) Dies ist nicht der Fall. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {8
}
{ =} {4 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^8 -1
}
{ =} { (X^4-1) (X^4+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Polynom
\mathl{X^4+1}{} hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von
\mathl{X^2-1}{.} Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von
\mathl{X^8-1}{.}
c) Da
\mathl{2,3,5}{} Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass
\mathl{2^2-1=3,\, 2^3-1=7}{} und
\mathl{2^5-1=31}{} Teiler von
\mathl{2^{30} -1}{} sind. Daher sind
\mathl{3,7,31}{} Primteiler von
\mathl{2^{30} -1}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol
\mathdisp {\left( \frac{ 563 }{ 1231 }\right)} { . }
Bemerkung: $563$ und $1231$ sind Primzahlen.
}
{
Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left(\frac{563}{1231}\right)
}
{ =} {(-1) \left(\frac{1231}{563}\right)
}
{ =} {(-1) \left(\frac{105}{563}\right)
}
{ =} {(-1) \left(\frac{3}{563}\right) \left(\frac{5}{563}\right) \left(\frac{7}{563}\right)
}
{ =} {(-1) (-1) \left(\frac{563}{3}\right) \left(\frac{563}{5}\right)(-1) \left(\frac{563}{7}\right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1) \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{3}{7}\right)
}
{ =} {(-1) (-1) (-1)(-1) \left(\frac{7}{3} \right)
}
{ =} {1
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass es
\definitionsverweis {überabzählbar}{}{}
viele
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
der multiplikativen Gruppe
\mathl{( \Q^{\times}, \cdot, 1 )}{} gibt.
}
{
Zu einer jeden Teilmenge $T$ von Primzahlen betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(T)
}
{ =} { { \left\{ \prod_{p \in T} p^{r_p} \mid r_p \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} { \Q^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei in den Produkten stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_p
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu
\mathl{\prod_{p \in T} p^{r_p}}{} ist
\mathl{\prod_{p \in T} p^{- r_p}}{,} also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes $T$ um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ \neq} {S
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei
\mathkor {} {p \in S} {} {p \notin T} {,}
auch
\mathl{p \notin G(T)}{} aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+2+2)}
{
Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R_+ \times S^1
}
{ \cong} { {\mathbb C}^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei einem Paar
\mathl{(r,s)}{} die komplexe Zahl
\mathl{r \cdot s}{} entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
\maabbeledisp {} { \Q_+ \times S^1_\Q } { \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}
} {(r,s)} { r \cdot s
} {.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
}{Zeige, dass jedes Quadrat aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{} zum Bild gehört.
}{Man gebe ein Beispiel für ein
\mathl{z \in \Q[ { \mathrm i}] ^{\times}}{,} das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Wir behaupten, dass $2+ {\mathrm i}$ nicht zum Bild gehört. Nehmen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2+ {\mathrm i}
}
{ =} { r \cdot s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{s \in S^1_\Q}{} an, so hat $r \in \Q_+$ die Norm $5$. Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch $5$ besitzt in $\Q$ keine Quadratwurzel.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {(x+y{\mathrm i})^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{x+y{\mathrm i} \in \Q [ {\mathrm i}]}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+y{\mathrm i})^2
}
{ =} {(x^2+y^2 ) { \frac{ (x+y{\mathrm i})^2 }{ x^2+y^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Norm des rechten Faktors ist
\zusatzklammer {wegen der Multiplikativität der Norm} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N { \left( { \frac{ (x+y{\mathrm i})^2 }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ (x^2+y^2)^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass also eine gesuchte Darstellung vorliegt.
}{Die Zahl $3$ ist nach
Fakt
\definitionsverweis {prim}{}{}
in
\mathl{\Z[{\mathrm i} ]}{} und somit kein Quadrat in
\mathl{\Z[{\mathrm i} ]}{.} Nach
Fakt,
Fakt,
Fakt,
Fakt
und
Fakt
ist $3$ auch kein Quadrat in $\Q[ {\mathrm i} ]$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3
}
{ =} {3 \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehört die $3$ aber zum Bild.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{
Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 2^{k-1} { \left( 2^k-1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{2^k-1}{} prim. Dann sind die von $n$ verschiedenen Teiler von $n$ durch
\mathdisp {2^{i},\, i=0 , \ldots , k-1, \text{ und } 2^{i} (2^k-1) ,\, i=0 , \ldots , k-2} { }
gegeben. Daher ist ihre Summe gleich
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \sum_{i = 0}^{k-1} 2^{i} + (2^k-1) \sum_{i = 0}^{k-2} 2^{i}
}
{ =} { 2^k-1 + { \left( 2^k-1 \right) } { \left( 2^{k-1} -1 \right) }
}
{ =} { { \left( 2^k-1 \right) } 2^{k-1}
}
{ =} { n
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist $n$ vollkommen. Es sei umgekehrt $n$ vollkommen. Wir setzen
\zusatzklammer {in Anlehnung an das Ziel} {} {}
an
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {2^{k-1} u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $u$ ungerade und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da ja $n$ gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist
nach Fakt
die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma(n)
}
{ =} { \sigma { \left( 2^{k-1} u \right) }
}
{ =} { \sigma { \left( 2^{k-1} \right) } \sigma(u)
}
{ =} { { \left( 2^k-1 \right) } \sigma(u)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits wegen der Vollkommenheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma (n)
}
{ = }{ 2n
}
{ = }{ 2^{k} u
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insgesamt ergibt sich also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( 2^k-1 \right) } \sigma(u)
}
{ = }{ 2^{k} u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{2^k-1}{} ungerade ist, gilt
\mathdisp {\sigma(u) =x 2^{k} \text{ und } u = x(2^k-1)} { . }
Die Annahme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler
\mathl{1,x,x(2^k -1)}{} von $u$ gibt, was zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma(u)
}
{ \geq} { { \left( 2^k-1 \right) } x+1+x
}
{ >} {2^k x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(u)
}
{ = }{ 2^k
}
{ = }{ u+1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Teilersumme einer Zahl $u$ ist aber gleich
\mathl{u+1}{} nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Zeige, dass in
\mathl{\Z/(29)}{} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4 +z^4
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0,0)}{} besitzt.
}
{
Die Einheitengruppe von
\mathl{\Z/(29)}{} ist zyklisch der Ordnung $28$, also isomorph zur additiven Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(28)
}
{ =} { \Z/(7) \times \Z/(4)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es neben der $0$ noch sieben weitere vierte Potenzen in
\mathl{\Z/(29)}{.} Diese sind
\zusatzklammer {wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen} {} {}
\mathdisp {1, 7 \, (= 8^4),-4 \, (=25= 16^4) , -5 \, (=24=4^4) , -6 \, (=23=3^4), -9 \, (=20= 6^4 ), -13 \, (=16= 2^4)} { . }
Eine Dreiersumme mit einer $0$ ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als $29$ und größer als
\mathl{-29}{} und nicht $0$. Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir $2,8,14$, doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen
\mathkor {} {-8} {und} {-26} {,}
was sich durch eine positive Zahl nicht zu $0$ ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 \cdot -9
}
{ =} { -27
}
{ >} { -29
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
muss auf jeden Fall die
\mathl{-13}{} vorkommen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-13 - 9-9
}
{ = }{-31
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die andere Kombinationen mit nur einer $-13$ sind größer als $-31$. Mit zweimal $-13$ ist es auch nicht möglich, da $-3$ nicht zur Liste gehört, und dreimal $-13$ geht auch nicht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von ${\mathfrak p}$ eine echte Primzahlpotenz ist.
}
{
Nach
Fakt
ist ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
und somit ist der Restklassenring $R/ {\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
und zwar handelt es sich nach
Fakt
um einen
\definitionsverweis {endlichen Körper}{}{.}
Nach
Fakt
ist die Anzahl gleich $p^n$ mit einer Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Für welche
\definitionsverweis {quadratfreien Zahlen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {1 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{?}
}
{
Die Norm von
\mathl{{ \frac{ 1 +\sqrt{D} }{ 2 } }}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 +\sqrt{D} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 -\sqrt{D} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 - D }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {4 r+ 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies gleich
\mathl{- r}{.} Damit eine Einheit vorliegt, muss dies eine Einheit in $\Z$ sein, also gleich $1$ oder $-1$. Dies bedeutet
\mathl{D= -3}{} oder
\mathl{D= 5}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0)
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{}
ist.
}
{
Zuerst zeigen wir, dass $R$ ein Unterring des Körpers $K$ ist. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $\nu$ ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(1)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein. Für Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f), \nu(g)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f \cdot g)
}
{ = }{ \nu(f) + \nu(g)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq} { \operatorname{min} \left( \nu(f) ,\, \nu(g) \right)
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach Voraussetzung, so dass $R$ multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(-1) + \nu(-1)
}
{ = }{ \nu ( (-1)^2)
}
{ = }{ \nu (1)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
woraus aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(-1)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -1
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Also gehören auch die Negativen zu $R$, und somit liegt ein kommutativer Ring vor.
Weiterhin muss $R$ ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \defeq} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 1 \right\} } \cup \{0\}
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das einzige maximale Ideal ist. Die $0$ gehört dazu und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g)
}
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \nu(f) ,\, \nu(g) \right)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Menge additiv abgeschlossen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(g)
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(gf)
}
{ = }{ \nu(g) + \nu(f)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.
Das Komplement
\mathl{R \setminus {\mathfrak m}}{} besteht aus allen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(h)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist aber auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(h^{-1})
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h^{-1}
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist ${\mathfrak m}$ maximal.
Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(p)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass $p$ prim ist. Es gilt generell, dass $y$ ein Vielfaches von $x$
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x,y
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(y)
}
{ \geq }{ \nu(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y/x
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent ist. Aus
\mathl{p {{|}} xy}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
folgt nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{\nu(p)
}
{ \leq }{ \nu(xy)
}
{ = }{ \nu(x) + \nu(y)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dann muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(x)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(y)
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, so dass eines ein Vielfaches von $p$ ist. Also ist $p$ prim.
Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \nu(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
assoziiert zu $p^n$ ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen $0$ und
\mathbed {(p^n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
vor.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_{-5}
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D = -5}{.} Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{(2,1+\sqrt{-5})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring
\mathl{A_{-5}/{\mathfrak a}}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_{-5}
}
{ =} { \Z[X]/(X^2 +5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A_{-5}/ {\mathfrak a}
}
{ =} { (\Z[X](X^2+5)) /(2, 1+X)
}
{ =} {\Z[X]/(2,1+X,X^2+5)
}
{ =} {\Z/(2)[X]/(X+1)
}
{ =} {\Z/(2)
}
}
{}
{}{,}
da man $X$ durch $1$ ausdrücken kann. Der Restklassenring besitzt also $2$ Elemente.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {}
\definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g}
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g}
}
{ =} { {\mathfrak f}^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} \cdot {\mathfrak f}
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist unmittelbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak g}^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zum Beweis der anderen Inklusion sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ {\mathfrak g}^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ \in }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h {\mathfrak g}
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} {\mathfrak f}
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beinhaltet insbesondere, dass es Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g_1 , \ldots , g_n
}
{ \in }{ {\mathfrak g}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ {\mathfrak f}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i=1}^n g_if_i
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} {h \cdot 1
}
{ =} { h \cdot { \left( \sum_{i=1}^n g_if_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i=1}^n ( h g_i) f_i
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h g_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet dies, dass $h$ zu dem von $f_i$ erzeugten gebrochenen Ideal, also zu ${\mathfrak f}$, gehört.
}