Elementare und algebraische Zahlentheorie/1/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 3 5 4 4 6 8 6 2 2 8 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Das Legendre-Symbol.
  3. Eine Mersennesche Primzahl.
  4. Der ganze Abschluss zu einer Erweiterung kommutativer Ringe.
  5. Die Konjugation in einem quadratischen Zahlbereich .
  6. Eine einfache binäre quadratische Form.


Lösung

  1. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  2. Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol durch
  3. Eine Primzahl der Form heißt Mersennesche Primzahl.
  4. Unter dem ganzen Abschluss von in versteht man die Menge aller Elemente , die ganz über sind,
  5. Der Automorphismus

    auf wird als Konjugation bezeichnet.

  6. Eine binäre quadratische Form heißt einfach, wenn die Koeffizienten teilerfremd sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
  2. Der Primzahlsatz.
  3. Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.


Lösung

  1. Für eine ungerade Primzahl gilt:
  2. Es gilt die asymptotische Abschätzung

    Das heißt

  3. Sei eine quadratfreie Zahl und der zugehörige quadratische Zahlbereich Dann ist die Diskriminante von gleich

    und


Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

a) Finde mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus eine Darstellung der für die beiden Zahlen und .

b) Nach dem Chinesischen Restsatz haben wir die Isomorphie

Welche Restklasse modulo entspricht dem Restklassenpaar und welche dem Paar ?

c) Bestimme diejenige Restklasse modulo , die modulo den Rest hat und die modulo den Rest hat.


Lösung


a) Es ist

Somit ist


b) Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung

Diese Zahl hat modulo den Rest und modulo den Rest , d.h. entspricht dem Restepaar .

Aufgrund von Teil a) haben wir die Darstellung

Diese Zahl hat modulo den Rest und modulo den Rest , d.h. entspricht dem Restepaar .


c) Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.


Lösung

Wenn ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann enthält ein Element , das eine Einheit ist. Damit ist und damit .

Sei umgekehrt ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann nicht der Nullring sein. Sei nun ein von verschiedenes Element in . Das von erzeugte Hauptideal ist und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass ist. Das bedeutet also für ein , so dass eine Einheit ist.


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Lösung

a) Es ist

und daher ist (und ebenso ) ein Teiler von .

b) Dies ist nicht der Fall. Für

ist

Das Polynom hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von . Daher ist kein Teiler von .

c) Da Teiler von sind, ergibt sich aus Teil a), dass und Teiler von sind. Daher sind Primteiler von .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Lösung

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es überabzählbar viele Untergruppen der multiplikativen Gruppe gibt.


Lösung

Zu einer jeden Teilmenge von Primzahlen betrachten wir

wobei in den Produkten stets bis auf endlich viele Ausnahmen ist. Ein Produkt von zwei solchen Elementen ist wieder von der gleichen Form, und das inverse Element zu ist , also auch von der gleichen Form. Es handelt sich also für jedes um eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe. Für

sind die zugehörigen Untergruppen verschieden, da bei , auch aufgrund der eindeutigen Primfaktorzerlegung gilt. Da die Menge der Primzahlen unendlich ist, ist ihre Potenzmenge überabzählbar, und das überträgt sich auf die soeben konstruierten Untergruppen.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Bekanntlich gilt die Gruppenisomorphie

wobei einem Paar die komplexe Zahl entspricht. Entsprechend gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

  1. Zeige, dass diese Abbildung nicht surjektiv ist.
  2. Zeige, dass jedes Quadrat aus zum Bild gehört.
  3. Man gebe ein Beispiel für ein , das kein Quadrat ist und zum Bild gehört.


Lösung

  1. Wir behaupten, dass nicht zum Bild gehört. Nehmen wir

    mit an, so hat die Norm . Für eine rationale Zahl ist aber die Norm einfach das Quadrat, doch besitzt in keine Quadratwurzel.

  2. Sei

    mit . Dann ist

    und die Norm des rechten Faktors ist (wegen der Multiplikativität der Norm)

    so dass also eine gesuchte Darstellung vorliegt.

  3. Die Zahl ist nach Fakt prim in und somit kein Quadrat in . Nach Fakt, Fakt, Fakt, Fakt und Fakt ist auch kein Quadrat in . Wegen

    gehört die aber zum Bild.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für gerade vollkommene Zahlen.


Lösung

Sei zunächst mit prim. Dann sind die von verschiedenen Teiler von durch

gegeben. Daher ist ihre Summe gleich

also ist vollkommen. Sei umgekehrt vollkommen. Wir setzen (in Anlehnung an das Ziel) an

mit ungerade und , da ja gerade ist. Für teilerfremde Zahlen ist nach Fakt die Teilersumme gleich dem Produkt der beiden Teilersummen. Daher ist einerseits

und andererseits wegen der Vollkommenheit . Insgesamt ergibt sich also . Da ungerade ist, gilt

Die Annahme führt schnell zum Widerspruch, da es dann zumindest die drei verschiedenen Teiler von gibt, was zu

führt. Also ist und somit . Die Teilersumme einer Zahl ist aber gleich nur dann, wenn eine Primzahl vorliegt.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass in die Gleichung

nur die triviale Lösung besitzt.


Lösung

Die Einheitengruppe von ist zyklisch der Ordnung , also isomorph zur additiven Gruppe

Daher gibt es neben der noch sieben weitere vierte Potenzen in . Diese sind (wir wählen die betragsmäßig kleinste Darstellung der Zahlen)

Eine Dreiersumme mit einer ist eine Summe von zwei der aufgelisteten Zahlen. Diese Summen sind aber stets kleiner als und größer als und nicht . Betrachten wir also Dreiersummen aus der obigen Liste. Die Summe von drei positiven Zahlen ist zu klein. Mit zwei positiven Zahlen erhalten wir , doch die negativen davon sind nicht in der Liste. Mit zwei negativen Zahlen sind wir zwischen und , was sich durch eine positive Zahl nicht zu ergänzt. Betrachten wir abschließend drei negative Zahlen. Wegen

muss auf jeden Fall die vorkommen. Es ist und die andere Kombinationen mit nur einer sind größer als . Mit zweimal ist es auch nicht möglich, da nicht zur Liste gehört, und dreimal geht auch nicht.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Zahlbereich und es sei ein Primideal. Zeige, dass die Norm von eine echte Primzahlpotenz ist.


Lösung

Nach Fakt ist ein maximales Ideal und somit ist der Restklassenring ein Körper, und zwar handelt es sich nach Fakt um einen endlichen Körper. Nach Fakt ist die Anzahl gleich mit einer Primzahl und .


Aufgabe (2 Punkte)

Für welche quadratfreien Zahlen mit

ist eine Einheit?


Lösung

Die Norm von ist

bei

ist dies gleich . Damit eine Einheit vorliegt, muss dies eine Einheit in sein, also gleich oder . Dies bedeutet oder .


Aufgabe (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit für alle . Zeige, dass

ein diskreter Bewertungsring ist.


Lösung

Zuerst zeigen wir, dass ein Unterring des Körpers ist. Es ist . Da ein Gruppenhomomorphismus ist, muss sein. Für zwei Elemente ist und damit , da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso

nach Voraussetzung, so dass multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist , woraus aber und somit folgt. Also gehören auch die Negativen zu , und somit liegt ein kommutativer Ring vor.

Weiterhin muss ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass

das einzige maximale Ideal ist. Die gehört dazu und wegen ist die Menge additiv abgeschlossen. Für und ist und und daher , so dass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor.

Das Komplement besteht aus allen Elementen mit. Dann ist aber auch und damit , d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist maximal.

Wir müssen noch zeigen dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Sei hierzu ein Element mit , was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass prim ist. Es gilt generell, dass ein Vielfaches von () ist genau dann, wenn ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu äquivalent ist. Aus mit , folgt nun und dann muss oder sein, so dass eines ein Vielfaches von ist. Also ist prim.

Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element mit assoziiert zu ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen und , , vor.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Sei . Berechne die Anzahl der Elemente im Restklassenring .


Lösung

Es ist

und somit

da man durch ausdrücken kann. Der Restklassenring besitzt also Elemente.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und gebrochene Ideale in einem Zahlbereich . Es gelte

Zeige, dass dann

ist.


Lösung

Wegen

ist unmittelbar

Zum Beweis der anderen Inklusion sei , also mit

Die Bedingung

beinhaltet insbesondere, dass es Elemente und mit

gibt. Somit ist

Wegen bedeutet dies, dass zu dem von erzeugten gebrochenen Ideal, also zu , gehört.