Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle

\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 5 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 0 }

\renewcommand{\aelf}{ 0 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 31 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage

\setcounter{section}{0}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {zyklische} {} Gruppe $G$.

}{Eine \stichwort {Carmichael-Zahl} {.}

}{Ein \stichwort {endlicher} {} Körper.

}{Ein \stichwort {Divisor} {} zu einem Zahlbereich $R$.

}{Eine \stichwort {zentralsymmetrische} {} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Äquivalenz} {} von binären quadratischen Formen. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird. }{Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^{n-1} }
{ =} { 1 \mod n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, heißt Carmichael-Zahl. }{Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt. }{Ein Divisor ist eine formale Summe
\mathdisp {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}} { , }
die sich über alle \definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} aus $R$ erstreckt und wobei
\mathl{n_{\mathfrak p}}{} ganze Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{\mathfrak p} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für fast alle ${\mathfrak p}$ sind. }{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt
\mathl{P \in T}{} auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört. }{Zwei \definitionsverweis {binäre quadratische Formen}{}{}
\mathdisp {F= aX^2+bXY+cY^2 \text{ und } F'= a'X^2+b'XY+c'Y^2} { }
heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2 \times 2$-Matrix $M$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F' }
{ =} { F M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. }

}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {zweite Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(\frac{2}{p}\right) }
{ =} {(-1)^{\frac{p^2-1}{8} } }
{ =} { \left\{\begin{matrix}1 \, , &\mbox{falls} & p = \pm 1 \mod 8 \, , \\ -1&\mbox{sonst}&\mbox{(also }p = \pm 3 \mod8\mbox{)}&\, .\end{matrix}\right. }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}}{Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ 2^{k-1}(2^k-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist mit
\mathl{2^k-1}{} prim.}{Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale
\mathl{0 \subset {\mathfrak m}}{} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein diskreter Bewertungsring. }{$R$ ist ein Hauptidealbereich. }{$R$ ist faktoriell. }{$R$ ist normal. }{$\mathfrak m$ ist ein Hauptideal. }}

}

\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{

Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind: \aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ. }{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von
\mathl{-16}{.} }{$n$ ist kein Vielfaches von
\mathl{36}{.} }{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von
\mathl{125}{.} }{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist. } Was ist $n$?

}
{

Wir müssen nur für die Primzahlen
\mathl{2,3,5}{} bestimmen, mit welcher Potenz sie in $n$ vorkommen. Wegen (2) kommt $2$ mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist $9$ kein Teiler von $n$, da ja $4$ ein Teiler ist, und wegen (4) ist $3$ ein Teiler von $n$. Wegen (4) kommt $5$ mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {- 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 }
{ =} { - 600 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ \defeq} {\varphi^{-1}(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} ist
\mathl{0 \in I}{.} Es seien
\mathl{a,b \in I}{.} Das bedeutet \mathkor {} {\varphi(a)=0} {und} {\varphi(b)=0} {.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(a+b) }
{ =} {\varphi(a) + \varphi(b) }
{ =} { 0+0 }
{ =} { 0 }
{ } {}
} {}{}{} und daher
\mathl{a+b \in I}{.}

Es sei nun \mathkor {} {a \in I} {und} {r \in R} {} beliebig. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(ra) }
{ =} {\varphi(r) \varphi(a) }
{ =} {\varphi(r) \cdot 0 }
{ =} { 0 }
{ } {}
} {}{}{,} also ist
\mathl{ra \in I}{.}

}

\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

}
{

Es seien
\mathl{w,z \in \Z[{ \mathrm i}]}{,}
\mathl{z \neq 0}{.} Wir betrachten den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{w}{z} }
{ =} { \frac{w \bar{z} }{z \bar{z} } }
{ =} { q_1 + q_2 { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also
\mathl{q_1, q_2 \in \Q}{.} Es gibt ganze Zahlen
\mathl{a_1, a_2}{} mit
\mathl{{{|}}q_1-a_1{{|}}, {{|}}q_2-a_2{{|}} \leq 1/2}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_1 + q_2 { \mathrm i} }
{ =} {a_1 +a_2 { \mathrm i} + (q_1-a_1) + (q_2-a_2) { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{a_1 +a_2 { \mathrm i} \in \Z[{ \mathrm i}]}{.} Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i}) }
{ =} { (q_1-a_1)^2 + (q_2-a_2)^2 }
{ \leq} {{ \left( \frac{1}{2} \right) }^2 + { \left( \frac{1}{2} \right) }^2 }
{ <} { 1 }
{ } { }
} {} {}{.} Multiplikation mit $z$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w }
{ =} {z(a_1 +a_2 { \mathrm i}) + z((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und aus der Multiplikativität der Norm folgt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ N { \left( z { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) } \right) } }
{ =} { N(z) N { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) } }
{ <} { N(z) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}

\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{23+2 { \mathrm i}}{} und
\mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}

}
{

Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit $- { \mathrm i}$ und erhalten $23 - { \mathrm i}$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 23+ 2 { \mathrm i} }
{ =} { 1(23 - { \mathrm i} ) + 3 { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Im nächsten Schritt ist \zusatzklammer {wir können mit $3$ statt mit $3 { \mathrm i}$ arbeiten} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{23 - { \mathrm i} }{3} }
{ =} {7 + \frac{2}{3} - \frac{ { \mathrm i} }{3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 23 - { \mathrm i} }
{ =} { 7 \cdot 3 + 2 - { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Weiter ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3 }
{ =} { (2- { \mathrm i} ) + 1 + { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2- { \mathrm i} ) }
{ =} {( 1 + { \mathrm i} )( 1 - { \mathrm i} ) - { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass also Teilerfremdheit vorliegt.

}

\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {} an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} {} {} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {,} die $0$ auf $0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf $1$ und die alle negativen Zahlen auf $2$ abbildet. Wenn $0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets $0$ raus, und dies gilt auch in $\Z/(3)$. Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von $\Z/(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf $1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente $1$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 }
{ = }{1+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} werden beide auf $1$ abgebildet, die Summe der $1$ ist aber in
\mathl{\Z/(3)}{} gleich $2 \neq 1$, also ist dies kein Ringhomomorphismus.

}

\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{p}{} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} zyklisch ist, dass
\mathl{-1}{} ein Quadratrest modulo
\mathl{p}{} genau dann ist, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.

}
{Siehe Fakt. }

\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)$ in $\Z/(n)$ gilt.

a) $n= 125$.

b) $n= 63$.

}
{Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 125 und 63/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung }