Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 5 4 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 31




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine zyklische Gruppe .
  2. Eine Carmichael-Zahl.
  3. Ein endlicher Körper.
  4. Ein Divisor zu einem Zahlbereich .
  5. Eine zentralsymmetrische Teilmenge .
  6. Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.


Lösung

  1. Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
  2. Eine natürliche Zahl , die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu teilerfremde ganze Zahl

    gilt, heißt Carmichael-Zahl.

  3. Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
  4. Ein Divisor ist eine formale Summe

    die sich über alle Primideale aus erstreckt und wobei ganze Zahlen mit für fast alle sind.

  5. Die Teilmenge heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt auch der Punkt zu gehört.
  6. Zwei binäre quadratische Formen

    heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare -Matrix mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
  2. Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
  3. Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.


Lösung

  1. Für eine ungerade Primzahl gilt:
  2. Eine gerade Zahl ist genau dann vollkommen, wenn ist mit prim.
  3. Sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist ein diskreter Bewertungsring.
    2. ist ein Hauptidealbereich.
    3. ist faktoriell.
    4. ist normal.
    5. ist ein Hauptideal.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

  1. ist negativ.
  2. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  3. ist kein Vielfaches von .
  4. ist ein Vielfaches von , aber nicht von .
  5. In der Primfaktorzerlegung von gibt es keine Primzahl, die größer als ist.

Was ist ?


Lösung

Wir müssen nur für die Primzahlen bestimmen, mit welcher Potenz sie in vorkommen. Wegen (2) kommt mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist kein Teiler von , da ja ein Teiler ist, und wegen (4) ist ein Teiler von . Wegen (4) kommt mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Lösung

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.


Lösung

Seien , . Wir betrachten den Quotienten

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also . Es gibt ganze Zahlen mit . Damit ist

mit . Ferner ist

Multiplikation mit ergibt

und aus der Multiplikativität der Norm folgt


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit und erhalten . Damit ist

Im nächsten Schritt ist (wir können mit statt mit arbeiten)

bzw.

Weiter ist

und

so dass also Teilerfremdheit vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe eine surjektive Abbildung

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

die auf abbildet und die alle positiven Zahlen auf und die alle negativen Zahlen auf abbildet. Wenn mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets raus, und dies gilt auch in . Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente und werden beide auf abgebildet, die Summe der ist aber in gleich , also ist dies kein Ringhomomorphismus.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe zyklisch ist, dass ein Quadratrest modulo genau dann ist, wenn ist.


Lösung Siehe Fakt.


Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen eine zu teilerfremde Zahl derart, dass in gilt.

a) .

b) .


Lösung Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 125 und 63/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


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Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


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