Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 41 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{\stichwort {Befreundete Zahlen} {.}
}{Die
\stichwort {Faltung} {}
von zahlentheoretischen Funktionen
\mathl{f,g}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} Ring.
}{Die
\stichwort {Spur} {}
zu einem Element
\mathl{f \in L}{} bei einer
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Die \stichwort {Ordnung} {} zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Hauptideal} {} zu einem Zahlbereich $R$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Zwei verschiedene natürliche Zahlen $m$ und $n$ heißen befreundet, wenn $m$ gleich der Summe der echten Teiler von $n$ ist und umgekehrt.
}{Die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f *g)(n)
}
{ \defeq} { \sum_{d \text{ teilt } n } f(d)g { \left( { \frac{ n }{ d } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion heißt die
Faltung
von
\mathkor {} {f} {und} {g} {.}
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
ist.
}{Zu einem Element
\mathl{f \in L}{} nennt man die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
der $K$-linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi_f} {L} { L
} {y} { fy
} {,}
die Spur von $f$.
}{Es sei $p$ das
\definitionsverweis {Primelement}{}{}
von $R$. Die Zahl
\mathl{n \in \N}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{up^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $u$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
bezeichne, heißt die Ordnung von $f$.
}{Man nennt ein
\definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ \subseteq }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{} der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ = }{ Rq
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{q \in Q(R)}{} ein gebrochenes Hauptideal.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name}{Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name}{Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu $p$ teilerfremde Zahl $k$ die Gleichheit
\mathdisp {\left(\frac{k}{p}\right) = k^{ \frac{p-1}{2} } \mod p} { . }
}{Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $\mathfrak p$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Dann ist $\mathfrak p$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
genau dann, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring
}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak p}}{}
ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
ist.}{\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine Produktdarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge} {} {}
eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $R$ und eindeutig bestimmten Exponenten
\mathbed {r_i} {}
{i= 1 , \ldots , k} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $999999$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{999 999
}
{ =} {9 \cdot 111 111
}
{ =} {3^2 \cdot 3 \cdot 37037
}
{ =} {3^3 \cdot 7 \cdot 5291
}
{ =} {3^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 481
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {3^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme in
\mathl{{\Z}[{ \mathrm i}]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{7+4{ \mathrm i}}{} und
\mathl{5+3{ \mathrm i}}{.}
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 7+4 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{5+3 { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und führen die Division mit Rest
\mathl{a/b}{} durch. Es ist
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$ oder in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{a}{b}
}
{ =} {\frac{7+4 { \mathrm i} }{5+3 { \mathrm i} }
}
{ =} {\frac{(7+4 { \mathrm i} )(5-3 { \mathrm i} )}{(5+3{\mathrm i})(5-3 { \mathrm i} )}
}
{ =} {\frac{47- { \mathrm i} }{34}
}
{ =} {\frac{47}{34} - \frac{1}{34} { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $1$, so dass die Division mit Rest ergibt:
\mathdisp {a=1 \cdot b+r \text{ mit } r= a-b= 2+ { \mathrm i}} { . }
Die nächste durchzuführende Division ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{b}{r}
}
{ =} { \frac{5+3 { \mathrm i} }{2+{ \mathrm i} }
}
{ =} { \frac{(5+3 { \mathrm i} )(2-{ \mathrm i})}{(2+ { \mathrm i} )(2- { \mathrm i} )}
}
{ =} { \frac{13+{ \mathrm i} }{5}
}
{ =} { \frac{13}{5} + \frac{1}{5} { \mathrm i}
}
}
{}{}{.}
Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist $3$, so dass die Division mit Rest ergibt:
\mathdisp {b=3 \cdot r +s \text{ mit } s= b-3r =5+3 { \mathrm i} -3(2+ { \mathrm i} )= -1} { . }
Da dies eine Einheit ist, sind
\mathkor {} {a = 7+4{ \mathrm i}} {und} {b = 5+3{ \mathrm i}} {}
teilerfremd.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme in
\mathl{\Z/(11)[X]}{} den
\zusatzklammer {normierten} {} {}
größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome
\mathdisp {X^4+2X^3 +2X^2 +3 \, \, \, \text{ und } \, \, \, X^2+ 7X + 10} { . }
}
{Euklidischer Algorithmus/Polynomring über Z mod 11/X^4+2X^3 +2X^2 +3 und X^2+ 7X + 10/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von
\mathl{100!}{.}
}
{
Die $5$ kommt in den $20$ Zahlen
\mathl{5,10 , \ldots , 100}{} jeweils einmal vor und in $25,50,75,100$ nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In $100!$ kommt also der Primfaktor $5$ mit dem Exponenten $24$ vor. Wegen der $50$ geraden Zahlen kommt der Primfaktor $2$ öfters vor. In $100!$ ist also $10^{24}$ die größte Zehnerpotenz und somit besitzt $100!$ genau $24$ Nullen am Ende.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Berechne
\mathl{24^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{
Der Zahl $24$ entspricht in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(35)
}
{ \cong }{ \Z/(5) \times \Z/(7)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Paar
\mathl{(4,3)}{.} Das Element $4$ hat in
\mathl{\Z/(5)}{} die Ordnung $2$. Das Element $3$ hat in
\mathl{\Z/(7)}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^2
}
{ = }{2
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^3
}
{ = }{6
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Ordnung $6$. Die multiplikative Ordnung von $24$ ist somit $6$. In
\mathl{\Z/(6)}{} gilt
\zusatzklammer {durch abziehen von \mathlk{600000}{} und \mathlk{360000}{} etc.} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1000000
}
{ =} {400000
}
{ =} {40000
}
{ =} {4000
}
{ =} {400
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {40
}
{ =} {4
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Daher ist die gefragte Potenz in Produktschreibweise gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (4^4,3^4)
}
{ =} { (1, 2^2)
}
{ =} { (1,4)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diesem Paar entspricht das Element $11$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass $-3$ genau dann ein Quadratrest modulo einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{0,1 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist direkt erledigt, so dass wir nur die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{1 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2 \mod 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten müssen. Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {1 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist nach
Fakt
und
Fakt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -3 }{ p }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 3 }{ p }\right) \left( \frac{ -1 }{ p }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 3 }{ p }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ p }{ 3 }\right)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also genau dann gleich $1$, wenn $p$ den Rest $1$ modulo $3$ besitzt.
Bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {3 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist aus den gleichen Gründen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -3 }{ p }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 3 }{ p }\right) \left( \frac{ -1 }{ p }\right)
}
{ =} { - \left( \frac{ 3 }{ p }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ p }{ 3 }\right)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der gleichen Konsequenz.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq }{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses Element ist nach der Definition eines
\definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$ und erfüllt demnach eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) }
}
{ =} {-k_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ \in }{ (f) \cap \Z
}
{ \subseteq }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme eine ganze Zahl
\mathl{n}{} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Q[\sqrt{n}]}{} liegen.
}
{
Wir schreiben die Gleichung als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x + { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^2
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } + { \frac{ 9 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ -28+27 }{ 12 } }
}
{ =} {{ \frac{ -1 }{ 12 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x + { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ =} { \pm {\sqrt{ { \frac{ -1 }{ 12 } } } }
}
{ =} {\pm { \frac{ 1 }{ 2 } } {\sqrt{ - { \frac{ 1 }{ 3 } } } }
}
{ =} {\pm { \frac{ 1 }{ 6 } } {\sqrt{ - 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also liegen die Lösungen in
\mathl{\Q[ {\sqrt{ -3 } } ]}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von \mathkor {} {\sqrt{D}} {und von} {{ \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }} {.}
}
{
Wegen $\sqrt{D} \cdot \sqrt{D} =D$ ist die Multiplikationsmatrix von $\sqrt{D}$ gleich
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & D \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}{} und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N (\sqrt{D})
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 0 & D \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { - D
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } } \cdot \sqrt{D}
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{D} + D }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Multiplikationsmatrix von
\mathl{{ \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } }}{} gleich
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ D }{ 2 } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}}{} und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N { \left( { \frac{ 1 + \sqrt{D} }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ D }{ 2 } } \\ { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1-D }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $\Z_n$ die Nenneraufnahme zu $n$
\zusatzklammer {$\Z_n$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann} {} {.}
Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe $R$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { R
}
{ \subseteq} { \Z_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von $n$.
}
{
Es sei $R$ ein Unterring, also
\mathl{\Z \subseteq R \subseteq \Z_n}{,} und seien
\mathl{p_1, \ldots, p_k}{} die verschiedenen Primfaktoren von $n$. Es sei
\mathl{I \subseteq \{ 1, \ldots, s\}}{} derart, dass genau für
\mathl{i \in I}{} gilt:
\mathl{\frac{1}{p_i} \in R}{.} Es sei
\mathl{m= \prod_{i \in I} p_i}{.} Wir behaupten die Gleichheit
\mathdisp {R =\Z_m} { . }
Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus
\mathl{\{p_1, \ldots, p_k\}}{} gibt.
Die Inklusion
\mathl{\Z_m \subseteq R}{} ist klar. Ein Element links hat die Gestalt
\mathdisp {\frac{a}{m^r}= a \prod_{i \in I} \left(\frac{1}{p_i}\right)^r \in R} { . }
Es sei umgekehrt
\mathl{f \in R}{.} Wegen
\mathl{R \subseteq \Z_n}{} kann man schreiben
\mathdisp {f = \frac{b}{n^r} = \frac{c}{d}} { }
Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler $c$ und Nenner $d$ teilerfremd sind. Angenommen, $p$ sei ein Primteiler von $d$, der nicht zu $p_i$,
\mathl{i \in I}{,} gehöre. Schreibe
\mathl{d=p^st}{} mit $t$ und $p$ teilerfremd. Wir multiplizieren $f$ mit $t$ und erhalten
\mathdisp {ft= \frac{c}{p^s} \in R} { . }
Hierbei ist insbesondere $p$ zu $c$ teilerfremd. Es sei
\mathl{uc+vp^s=1}{.} Dann ist
\mathdisp {\frac{uc}{p^s} = \frac{1-vp^s}{p^s} = \frac{1}{p^s} -v} { . }
Daraus folgt
\mathl{\frac{1}{p^s} \in R}{} und damit
\mathl{p^{s-1}\frac{1}{p^s} =\frac{1}{p} \in R}{,} Widerspruch.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}