Elementare und algebraische Zahlentheorie/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 3 4 4 2 0 4 0 3 2 6 0 0 0 34




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Befreundete Zahlen.
  2. Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen .
  3. Ein noetherscher Ring.
  4. Die Spur zu einem Element bei einer endlichen Körpererweiterung .
  5. Die Ordnung zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring .
  6. Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich .


Lösung

  1. Zwei verschiedene natürliche Zahlen und heißen befreundet, wenn gleich der Summe der echten Teiler von ist und umgekehrt.
  2. Die durch

    definierte Funktion heißt die Faltung von und .

  3. Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.
  4. Zu einem Element nennt man die Spur der -linearen Abbildung

    die Spur von .

  5. Es sei das Primelement von . Die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von .
  6. Man nennt ein gebrochenes Ideal im Quotientenkörper der Form mit ein gebrochenes Hauptideal.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Sei eine ungerade Primzahl. Dann gilt für eine zu teilerfremde Zahl die Gleichheit
  2. Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
  3. Sei ein Zahlbereich und ein Ideal in . Dann gibt es eine Produktdarstellung

    mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen

    aus und eindeutig bestimmten Exponenten , .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Lösung

Wir setzen und und führen die Division mit Rest durch. Es ist (in oder in )

Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist , so dass die Division mit Rest ergibt:

Die nächste durchzuführende Division ist somit

Die beste Approximation für diese komplexe Zahl mit einer ganzen Gaußschen Zahl ist , so dass die Division mit Rest ergibt:

Da dies eine Einheit ist, sind und teilerfremd.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome


Lösung Euklidischer Algorithmus/Polynomring über Z mod 11/X^4+2X^3 +2X^2 +3 und X^2+ 7X + 10/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .


Lösung

Die kommt in den Zahlen jeweils einmal vor und in nochmal zusätzlich mit einer weiteren Potenz. In kommt also der Primfaktor mit dem Exponenten vor. Wegen der geraden Zahlen kommt der Primfaktor öfters vor. In ist also die größte Zehnerpotenz und somit besitzt genau Nullen am Ende.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal in einem Zahlbereich eine ganze Zahl enthält.


Lösung

Sei . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

mit ganzen Zahlen . Bei kann man die Gleichung mit kürzen, da ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ist. Sei also in obiger Gleichung . Dann ist

und somit ist .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.


Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

Daher ist

Also liegen die Lösungen in .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von und von .


Lösung

Wegen ist die Multiplikationsmatrix von gleich und somit ist

Wegen

ist die Multiplikationsmatrix von gleich und somit ist


Aufgabe (6 Punkte)

Sei die Nenneraufnahme zu ( besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe mit

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Sei ein Unterring, also , und seien die verschiedenen Primfaktoren von . Es sei derart, dass genau für gilt: . Sei . Wir behaupten die Gleichheit

Insbesondere gibt es dann nur endliche viele Zwischenringe, da es nur endlich viele Teilmengen aus gibt.

Die Inklusion ist klar. Ein Element links hat die Gestalt

Sei umgekehrt . Wegen kann man schreiben

Dabei kann man nach kürzen annehmen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Angenommen, sei ein Primteiler von , der nicht zu , , gehöre. Schreibe mit und teilerfremd. Wir multiplizieren mit und erhalten

Hierbei ist insbesondere zu teilerfremd. Sei . Dann ist

Daraus folgt und damit , Widerspruch.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung