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Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 3 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 2 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 7 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 55 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Einheit} {} $u$ in einem kommutativen Ring $R$.

}{Eine \stichwort {multiplikative} {} \definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion}{}{.}

}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.

}{Die \stichwort {Diskriminante} {} eines Zahlbereichs $R$.

}{Ein \stichwort {gebrochenes Ideal} {} ${\mathfrak f}$ zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}

}{Die \stichwort {Darstellbarkeit} {} einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^7 + 17^3 }
{ =} { 71^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $71894$ und $45327$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die kleinste natürliche Zahl
\mathl{\geq 2}{,} die nicht \definitionsverweis {prim}{}{} ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{


a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des \definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{\Z/(180)}{.}

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in
\mathl{\Z/(180)}{.}

c) Berechne das Bild von $77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass $77$ eine Einheit in
\mathl{\Z/(180)}{} ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von $77$ in
\mathl{\Z/(180)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+2+3 }
{ = }{1 \cdot 2 \cdot 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Gibt es neben der $1$ weitere natürliche \zusatzklammer {ganze, reelle, komplexe} {} {} Zahlen $x$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+ (x+1) +(x+2) }
{ =} {x \cdot (x+1) \cdot (x+2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5 (1+2+1+1)}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl $\geq 2$. Unter einer Teilerkette von $n$ verstehen wir eine Folge
\mathl{n_1,n_2 , \ldots , n_k}{} von Teilern von $n$, wobei stets $n_i$ die folgende Zahl $n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.

a) Finde eine Teilerkette von $20$, in der genau vier Zahlen stehen.

b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von $n$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.

c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?

d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt $100$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+1+2+2)}
{

Zeige, dass für natürliche Zahlen $a,b,g$ folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungvier{Für teilerfremde $a,b$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kgV} \, (a,b) }
{ =} { ab }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathdisp {a= c \cdot \operatorname{ggT} \, (a,b) \text{ und } b= d \cdot \operatorname{ggT} \, (a,b)} { , }
wobei $c,d$ teilerfremd sind. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kgV} \, (ga,gb) }
{ =} { g\cdot \operatorname{kgV} \, (a,b) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot \operatorname{kgV} \,(a,b) }
{ =} { ab }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\N$ auch Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \Z/(p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ =} { g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}

Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4-2 }
{ \in} { \Z/(3) [X] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{


a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.


b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.


c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.

}
{} {}