Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 2 2 4 3 1 3 3 4 0 2 0 0 35



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  2. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
  3. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches .
  4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs .
  5. Ein gebrochenes Ideal zu einem Zahlbereich.
  6. Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl durch eine binäre quadratische Form.


Aufgabe * (3 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die nicht prim ist und die außer keinen Teiler kleiner als besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

in auch Lösungen besitzt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

rational ist oder nicht.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

nicht irreduzibel ist.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

b) Berechne in das Produkt .

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich das Primideal . Zeige direkt, dass das Ideal in der Lokalisierung ein Hauptideal ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)