Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	3	2	2	4	3	1	3	3	4	0	2	40

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
3. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${}R$.
5. Ein gebrochenes Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
6. Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name
2. Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name
3. Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}\geq 2$, die nicht prim ist und die außer ${}1$ keinen Teiler kleiner als ${}10$ besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

${}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$

nicht irreduzibel ist.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R=A_{-5}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$. Zeige direkt, dass das Ideal ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Hauptideal ist.