Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	5	3	2	5	7	2	4	3	1	3	3	4	55

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
3. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
4. Die Diskriminante eines Zahlbereichs ${}R$.
5. Ein gebrochenes Ideal ${}{\mathfrak {f}}$ zu einem Zahlbereich.
6. Die Darstellbarkeit einer ganzen Zahl ${}n$ durch eine binäre quadratische Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Quadratresten.
2. Die Abschätzungen von Tschebyschow.
3. Der Satz über die Norm und konjugiertes Ideal in einem quadratischen Zahlbereich.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl ${}\geq 2$, die nicht prim ist und die außer ${}1$ keinen Teiler kleiner als ${}10$ besitzt.

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des Restklassenringes ${}\mathbb {Z} /(180)$.

b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

c) Berechne das Bild von ${}77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass ${}77$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(180)$ ist.

d) Bestimme die multiplikative Ordnung von ${}77$ in ${}\mathbb {Z} /(180)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.

Aufgabe * (5 (1+2+1+1) Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl ${}\geq 2$. Unter einer Teilerkette von ${}n$ verstehen wir eine Folge ${}n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}$ von Teilern von ${}n$, wobei stets ${}n_{i}$ die folgende Zahl ${}n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.

a) Finde eine Teilerkette von ${}20$, in der genau vier Zahlen stehen.

b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von ${}n$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.

c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?

d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt ${}100$?

Aufgabe * (7 (2+1+2+2) Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b,g$ folgende Aussagen gelten.

1. Für teilerfremde ${}a,b$ ist

   ${}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

2. Es gibt ${}c,d\in \mathbb {Z}$ mit

   $a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$

   wobei ${}c,d$ teilerfremd sind.

3. Es ist

   ${}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$

4. Es ist

   ${}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass das Produkt von ${}n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von ${}n!$ geteilt wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

${}X^{4}-2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,$

nicht irreduzibel ist.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.