Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 0 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 0 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 40 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Teilen} {} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Die
\stichwort {Ordnung} {}
eines Elementes $f \in R$ an einem Primideal
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} in einem Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Divisorenklassengruppe} {} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Ein \stichwort {normeuklidischer} {} quadratischer Zahlbereich $A_D$ \zusatzklammer {zu \mathlk{D \neq 0,1}{} quadratfrei} {} {.}
}{Die \stichwort {strikte Äquivalenz} {} von binären quadratischen Formen. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Lemma von Bezout} {} für einen Hauptidealbereich $R$.}{Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.}{Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne
\mathl{17^{1000000}}{} in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von
\mathdisp {\binom { 49 } { 6 }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Finde drei Quadratzahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u^2
}
{ <} {v^2
}
{ <} {w^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass der Abstand von $u^2$ zu $v^2$ gleich dem Abstand von $v^2$ zu $w^2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
\definitionsverweis {Norm}{}{,}
dass jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in
\definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass der Körper der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {Unterringe}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{14}
}
{ = }{\Z[\sqrt{14}]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{14
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Berechne zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} {\frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den zugehörigen
\definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{D \neq 0,1}{} eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahl und sei $A_D$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Definiere die Konjugation zu einem Element
\mathl{f \in \Q[\sqrt{D}]}{} und zu einem Element
\mathl{f \in A_D}{.} Definiere zu einem Ideal
\mathl{\mathfrak a \neq 0}{} das konjugierte Ideal $\overline{\mathfrak a}$ und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ und $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der
\definitionsverweis {Klassengruppe}{}{}
invers zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+2)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige unter Verwendung von
Fakt,
dass
\mathl{A_{5}}{}
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
} {Sieht nicht die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{- { \left( 1+ \sqrt{5} \right) } { \left( 1- \sqrt{5} \right) }
}
{ =} {4
}
{ =} { 2 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $4$ in $A_5$?
}
}
{} {}