Elementare und algebraische Zahlentheorie/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 2 5 0 0 0 3 0 4 0 0 6 4 5 38



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Teilen in einem kommutativen Ring .
  2. Ein Untermodul zu einem -Modul .
  3. Die Ordnung eines Elementes an einem Primideal in einem Zahlbereich .
  4. Die Divisorenklassengruppe zu einem Zahlbereich .
  5. Ein normeuklidischer quadratischer Zahlbereich (zu quadratfrei).
  6. Die strikte Äquivalenz von binären quadratischen Formen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Bezout für einen Hauptidealbereich .
  2. Der Charakterisierungssatz für Primelemente im Ring der Gaußschen Zahlen.
  3. Der Satz über die Gruppenstruktur von Idealen in einem Zahlbereich.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass der Körper der rationalen Zahlen überabzählbar viele Unterringe besitzt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl und sei ein quadratischer Zahlbereich. Definiere die Konjugation zu einem Element und zu einem Element . Definiere zu einem Ideal das konjugierte Ideal und zeige, dass es sich um ein Ideal handelt. Zeige, dass und in der Klassengruppe invers zueinander sind.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten den quadratischen Zahlbereich zu .

  1. Zeige unter Verwendung von Fakt, dass faktoriell ist.
  2. Sieht nicht die Gleichung

    wie eine Zerlegung in wesentlich verschiedene irreduzible Elemente aus? Wie lautet die Primfaktorzerlegung von in ?