Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 7 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 10 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer Bereich} {} $R$.
}{Eine \stichwort {vollkommene Zahl} {.}
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} eines Elementes
\mathl{x \in L}{} in einer endlichen Kör\-pererweiterung
\mathl{K \subseteq L}{.}
}{Ein \stichwort {quadratischer Zahlbereich} {.}
}{Die \stichwort {Norm} {} zu einem Ideal ${\mathfrak a} \neq 0$ in einem quadratischen Zahlbereich $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} {} einer binären quadratischen Form. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein euklidischer Bereich ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$, für den eine Abbildung
\mathl{\delta: R \setminus \{0\} \to \N}{} existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente
\mathl{a , b}{} mit
\mathl{b \neq 0}{} gibt es
\mathl{q , r \in R}{} mit
\mathdisp {a = qb+r \text{ und } r=0 \text{ oder } \delta (r)< \delta (b)} { . }
}{Eine natürliche Zahl $n$ heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von $n$ verschiedenen Teiler übereinstimmt.
}{Das Minimalpolynom von
\mathl{x \in L}{}
\zusatzklammer {über $K$} {} {}
ist das normierte Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} von minimalem Grad mit
\mathl{P(x)=0}{.}
}{Ein quadratischer Zahlbereich ist der
\definitionsverweis {Ring der ganzen Zahlen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
von $\Q$ vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$2$.
}{Die
\zusatzklammer {endliche} {} {}
Anzahl des Restklassenringes
\mathl{A_D/{\mathfrak a}}{} heißt die \stichwort {Norm} {} von ${\mathfrak a}$.
}{Zu einer
\definitionsverweis {binären quadratischen Form}{}{}
\mathdisp {aX^2+bXY+cY^2} { }
nennt man
\mathdisp {b^2-4ac} { }
die
Diskriminante
der Form.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo $n$.}{Das \stichwort {Bertrandsche Postulat} {.}}{Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich $R$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Genau dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
modulo $n$
\zusatzklammer {d.h. $a$ repräsentiert eine Einheit in \mathlk{\Z/(n)}{}} {} {,}
wenn
\mathkor {} {a} {und} {n} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.}{Für jede positive natürliche Zahl $n$ gibt es eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
zwischen
\mathkor {} {n+1} {und} {2n} {.}}{Es sei $A_D$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Setze
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ (f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N( {\mathfrak a} )
}
{ = }{ \betrag {N(f)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \delta(a) \mid a \in I , \, a \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element
\mathl{b \in I, \, b \neq 0}{,} herrührt, sagen wir
\mathl{m= \delta(b)}{.} Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dabei ist die Inklusion \anfuehrung{$\supseteq$}{} klar. Zum Beweis der Inklusion \anfuehrung{$\subseteq$}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{qb+r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(r)
}
{ < }{ \delta (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von $\delta(b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung von $10!$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{10 !
}
{ =} { 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
}
{ =} { 2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2^2\cdot 3 \cdot 2
}
{ =} { 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1.5+1.5)}
{
(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $11$ und $13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)} { }
die Restetupel
$(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$
repräsentieren.
(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 5 \!\! \mod 11 \text{ und } x = 6 \!\! \mod 13} { . }
}
{
a) $(1,0,0)$
- Wir betrachten die Vielfachen von
\mathl{11 \cdot 13= 143}{,} diese haben modulo $11$ und modulo $13$ den Rest $0$. Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. $143$ hat modulo $3$ den Rest $2$, somit hat $286$ modulo $3$ den Rest $1$. Also repräsentiert $286$ das Restetupel
\mathl{(1,0,0)}{.}
\mathl{(0,1,0)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $39$, und $39$ hat modulo $11$ den Rest $6$ und
\mathl{2 \cdot 39=78}{} hat modulo $11$ den Rest $1$, also repräsentiert
\mathl{78}{} das Restetupel
\mathl{(0,1,0)}{.}
\mathl{(0,0,1)}{:} Hier betrachtet man die Vielfachen von $33$, und $33$ hat modulo $13$ den Rest $7$ und
\mathl{2 \cdot 33=66}{} hat modulo $13$ den Rest $1$, also repräsentiert
\mathl{66}{} das Restetupel
\mathl{(0,0,1)}{.}
b) Man schreibt
\zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(3) \times \Z/(11) \times \Z/(13)}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,5,6)
}
{ =} {2(1,0,0)+5(0,1,0)+ 6(0,0,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 2 \cdot 286 + 5 \cdot 78 + 6 \cdot 66
}
{ =} { 572+ 390 + 396
}
{ =} { 1358
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die minimale Lösung ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1358- 3 \cdot 429
}
{ = }{ 71
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:
a) $\Z/(73)$,
b) ${\mathbb F}_{125}$,
c) ${\mathbb F}_{64}$,
d) $\Z/(113)$.
}
{
Da die Einheitengruppe eines Körpers mit $n$ Elementen zyklisch ist, geht es um die Anzahl der Erzeuger von
\mathl{\Z/(n-1)}{,} die mit der eulerschen $\varphi$-Funktion berechnet werden kann.
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{72
}
{ =} {2^3 \cdot 3^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4 \cdot 2 \cdot 3
}
{ =} { 24
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 124
}
{ =} {2^2 \cdot 31
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 30
}
{ =} { 60
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{63
}
{ =} { 3^2 \cdot 7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3 \cdot 6
}
{ =} { 36
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
d) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{112
}
{ =} { 2^4 \cdot 7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Anzahl der primitiven Elemente ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8 \cdot 6
}
{ =} { 48
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{
Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit
\mathl{(u,v)}{,} wobei $u$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {a} {}
und $v$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {b} {}
liegt. Es sei $r$ der Rest von $-b$ bei Division durch $a$. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung
\mathl{(u,0)}{} durch die erlaubten Schritte erzielen kann,
dass man dann auch
\mathl{(u',0)}{} erzielen kann, wobei $u'$ den Rest von
\mathl{u+r}{} modulo $a$ bezeichnet. Wir starten also mit
\mathdisp {(u,0)} { . }
Durch Umschüttung kann man
\mathdisp {(0,u)} { }
erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man
\mathdisp {(0,u+a)} { }
erreichen, und ebenso der Reihe nach
\mathdisp {(0,u+2a),\, (0,u+2a) , \ldots , (0,u+ k a)} { , }
wobei $k$ so gewählt sei, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+k a
}
{ \leq} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u+ (k+1)a
}
{ >} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei. Von hier aus erreichen wir
\mathdisp {(a, u+ka)} { . }
Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Es sei $m$ die umgefüllte Menge. Diese erfüllt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u+ka +m
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-m
}
{ =} {a- ( b-u-ka)
}
{ =} {u + (k+1) a-b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Menge ist also der Rest von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u-b
}
{ = }{u+r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
modulo $a$, wie behauptet.
Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen \zusatzklammer {bzw. die Reste davon modulo a} {} {.}
\mathdisp {(0,0), (r,0), (2r,0), (3r,0), \ldots} { . }
Da $b$ teilerfremd zu $a$ ist, gibt es nach
dem Lemma von Bezout
positive ganze Zahlen $n,m$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ma-nb
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Falls $n,m$ negativ sind, betrachtet man einfach
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ (sb+m)a-(sa+n)b
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein ausreichend großes $s$} {} {.}
Somit ist modulo $a$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n r
}
{ \equiv} {- nb
}
{ =} { 1-ma
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass bei Division durch $a$ für ein gewisses $n$ der Rest von $nr$ gleich $1$ ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Zu einer positiven natürlichen Zahl $n$ sei $a_n$ das
\definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{}
der Zahlen
\mathl{1,2,3 , \ldots , n}{.}
\aufzaehlungzwei {Was ist die kleinste Zahl $n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ =} {a_{n+1}
}
{ =} {a_{n+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
} {Zeige, dass die Reihe
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }} { }
konvergiert.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Genau dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{n+1}
}
{ >} { a_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn
\mathl{n+1}{} eine Primzahlpotenz
\mathbed {p^k} {}
{k \geq 1} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {$p$ Primzahl} {} {}
ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist
\mathl{14,15}{,} die Antwort ist also $13$.
} {Für
\mathl{n \geq 2}{} ist $a_n$ insbesondere ein Vielfaches von $n$ und $n-1$. Da diese beiden Zahlen teilerfremd sind, ist $a_n$ ein Vielfaches von
\mathl{n(n-1)}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_n
}
{ \geq} { n(n-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ a_n } }
}
{ \leq} {{ \frac{ 1 }{ n(n-1) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ a_n } }
}
{ \leq} { 1 + \sum_{n = 2}^\infty { \frac{ 1 }{ n(n-1) } }
}
{ \leq} { 1 + \sum_{n = 2}^\infty { \frac{ 1 }{ (n-1)^2 } }
}
{ =} {1+ \sum_{n = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt
nach dem Majorantenkriterium
Konvergenz vor.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:
\mathdisp {\left(\frac{1003}{4459}\right)} { . }
}
{
Die Zahlen
\mathkor {} {1003} {und} {4459} {}
haben beide modulo $4$ den Rest $3$. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 1003 }{ 4459 }\right)
}
{ =} { -\left( \frac{ 4459 }{ 1003 }\right)
}
{ =} { -\left( \frac{ 447 }{ 1003 }\right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zahl $447$ hat ebenfalls den Rest $3$ modulo $4$, also ist dies gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 1003 }{ 447 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 109 }{ 447 }\right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zahl $109$ hat den Rest $1$ modulo $4$, somit ist dies gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left( \frac{ 447 }{ 109 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 11 }{ 109 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 109 }{ 11 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 10 }{ 11 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 5 }{ 11 }\right)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 11 }{ 5 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right) \cdot \left( \frac{ 1 }{ 5 }\right)
}
{ =} { \left( \frac{ 2 }{ 11 }\right)
}
{ } {}
}
{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2^{5}
}
{ = }{ 32
}
{ = }{ -1 \mod 11
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies nach
dem Euler-Kriterium
gleich $-1$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich $2$ ist.
}
{
Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner $h$ schreiben und setzen die Seitenlängen als
\mathl{{ \frac{ a }{ h } }, { \frac{ b }{ h } }, { \frac{ c }{ h } }}{} an, mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 + b^2
}
{ =} {c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Flächenbedingung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ a }{ h } } \cdot { \frac{ b }{ h } }
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ab
}
{ =} { 4 h^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir lösen nach $b$ auf und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ 4h^2 }{ a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2 + { \left( { \frac{ 4h^2 }{ a } } \right) }^2
}
{ =} {c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^4 +16h^4
}
{ =} { a^2 c^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Dann wäre aber das Tripel
\mathl{(a,2h,ac)}{} eine nichttriviale Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4 +y^4
}
{ =} {z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was es nach
Fakt
nicht geben kann.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{10 (2+2+6)}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $F$ ein normiertes Polynom aus $\Z[X]$ und es gebe eine Primzahl $q$ mit der Eigenschaft, dass $F$ modulo $q$, also aufgefasst in $\Z/(q) [X]$,
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
sei. Zeige, dass dann schon $F$ irreduzibel ist.
}{Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
}{Es sei $p$ eine Primzahl und $G \in \Z/(p) [X]$ ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom
\mathl{F\in \Z[X]}{} gibt, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Nehmen wir an, dass $F \in \Z[X]$ nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {G H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z[X]}{,} wobei
\mathl{G,H}{} ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als $F$ besitzen. Da die Reduktion modulo $q$ ein Ringhomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Z[X]} { \Z/(q) [X]
} {F} { \overline{F}
} {,}
ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\overline{F}
}
{ =} { \overline{G} \cdot \overline{H}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die der Irreduzibilität von $\overline{F}$ in
\mathl{\Z/(q) [X]}{} widerspricht.
}{Es sei
\mathl{F=2X}{,} wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass $F$ nicht irreduzibel in $\Z[X]$ ist. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Reduktion modulo $3$ gleich
\mathl{2X}{,} doch dies ist, da $2$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in
\mathl{\Z/(3)}{} ist,
\definitionsverweis {assoziiert}{}{}
zum irreduziblen Polynom $X$.
}{Es sei nun
\mathl{G \in \Z/(p) [X]}{} ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Es sei $q \neq p$ eine weitere Primzahl. Da es einen Körper $K$ mit $q^n$ Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers
nach Fakt
von einem Element erzeugt wird, ist $K$ eine
\definitionsverweis {einfache}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
von $\Z/(q)$. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \cong} { \Z/(q) [X] /(H)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem normierten irreduziblen Polynom
\mathl{H \in \Z/(q) [X]}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{G}
}
{ =} {X^n+ a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X+a_0 \in \Z[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo $p$ mit $G$ übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von $pX^{i}$ mit $i$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {n-1} {}
dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo $q$ zum irreduzibeln Polynom $H$ wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue $G'$ irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} {X^n+ b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_1X+b_0 \in \Z[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{b_i \in \Z/(q)}{.} Da $\overline{p}$ in
\mathl{\Z/(q)}{} eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe
\mathl{\Z/(q)}{,} d.h.
\mathl{0, \overline{p}, 2 \overline{p}, \ldots}{} durchläuft alle Elemente von
\mathl{\Z/(q)}{.} Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von $p$ erreichen, dass
\mathl{a_i +kp}{} modulo $q$ mit $b_i$ übereinstimmt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass jedes Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Zahlbereich $R$ eine ganze Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthält.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \neq }{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses Element ist nach der Definition eines
\definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{}
über $\Z$ und erfüllt demnach eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^n+ k_{n-1}f^{n-1} + k_{n-2}f^{n-2} + \cdots + k_1f +k_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit ganzen Zahlen $k_i$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Gleichung mit $f$ kürzen, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht $0$ ist. Es sei also in obiger Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( f^{n-1}+ k_{n-1}f^{n-2} + k_{n-2}f^{n-3} + \cdots + k_1 \right) }
}
{ =} {-k_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k_0
}
{ \in }{ (f) \cap \Z
}
{ \subseteq }{{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und seien
\mathl{f,g \in \Z}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen. Zeige, dass für den
\zusatzklammer {im Quotientenkörper $Q(R)$ genommenen} {} {}
Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f \cap R_g
}
{ =} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Sei
\mathdisp {q \in R_g \cap R_f} { . }
Das bedeutet, dass es Zähler
\mathl{a,b \in R}{} und Exponenten
\mathl{r,s \in \N}{} gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { { \frac{ a }{ g^r } }
}
{ =} { { \frac{ b }{ f^s } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Da
\mathkor {} {g} {und} {f} {}
teilerfremd sind, sind auch
\mathkor {} {g^r} {und} {f^s} {}
teilerfremd und somit gibt es
nach dem Lemma von Bezout
ganze Zahlen
\mathl{u,v \in \Z}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ug^r +vf^s
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{q
}
{ =} {q \cdot 1
}
{ =} { q \cdot { \left( ug^r +vf^s \right) }
}
{ =} { { \frac{ a }{ g^r } } ug^r + { \frac{ b }{ f^s } } vf^s
}
{ =} { au+bv
}
}
{}
{}{,}
und dies gehört zu $R$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{
Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was
\mathdisp {\frac{90}{210},\, \frac{175}{210} , \, \frac{63}{210}} { }
ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist $5$. Da dies teilerfremd zu $63$ ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch
\mathl{\frac{1}{210}}{} erzeugt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass für alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }
}
{
Da die Idealklassengruppe von $R$ endlich ist, gibt es ein $n \in \N_+$ derart, dass die $n$-te Potenz von ${\mathfrak a}$ ein Hauptideal ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^n
}
{ =} { (g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathbed {g \in R} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Da
\mathkor {} {{\mathfrak a}} {und} {{\mathfrak a}^n} {}
das gleiche
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
besitzen, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g^k
}
{ \in} { {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein gewisses $k$. Somit stimmen die Radikale zu ${\mathfrak a}$, zu ${\mathfrak a}^n$, zu $(g)$ und zu $(f)$ überein. Für ein maximales Ideal ${\mathfrak m}$ gilt nun
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}}{} genau dann, wenn
\mathl{{\mathfrak a}^n \subseteq {\mathfrak m}}{} genau dann, wenn
\mathl{g \in {\mathfrak m}}{} genau dann, wenn
\mathl{f \in {\mathfrak m}}{.}
}