Elementare und algebraische Zahlentheorie/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 2 3 4 7 5 4 5 10 4 4 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Bereich .
  2. Eine vollkommene Zahl.
  3. Das Minimalpolynom eines Elementes in einer endlichen Körpererweiterung .
  4. Ein quadratischer Zahlbereich.
  5. Die Norm zu einem Ideal in einem quadratischen Zahlbereich .
  6. Die Diskriminante einer binären quadratischen Form.


Lösung

  1. Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich , für den eine Abbildung existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente mit gibt es mit
  2. Eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie mit der Summe all ihrer von verschiedenen Teiler übereinstimmt.
  3. Das Minimalpolynom von (über ) ist das normierte Polynom von minimalem Grad mit .
  4. Ein quadratischer Zahlbereich ist der Ring der ganzen Zahlen in einem Erweiterungskörper von vom Grad .
  5. Die (endliche) Anzahl des Restklassenringes heißt die Norm von .
  6. Zu einer binären quadratischen Form

    nennt man

    die Diskriminante der Form.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für Einheiten modulo .
  2. Das Bertrandsche Postulat.
  3. Der Satz über die Norm eines Hauptideals in einem quadratischen Zahlbereich .


Lösung

  1. Genau dann ist eine Einheit modulo (d.h. repräsentiert eine Einheit in ), wenn und teilerfremd sind.
  2. Für jede positive natürliche Zahl gibt es eine Primzahl zwischen und .
  3. Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein Element. Setze . Dann gilt .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein euklidischer Bereich ein Hauptidealbereich ist.


Lösung

Sei ein von verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Dabei ist die Inklusion „“ klar. Zum Beweis der Inklusion „“ sei gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt mit oder . Wegen und der Minimalität von kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Lösung

a) : Wir betrachten die Vielfachen von , diese haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest und hat modulo den Rest , also repräsentiert das Restetupel .

b) Man schreibt (in )

Die Lösung ist dann

Die minimale Lösung ist dann .


Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Bestimme die Anzahl der primitiven Elemente in folgenden Körpern:

a) ,

b) ,

c) ,

d) .


Lösung

Da die Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen zyklisch ist, geht es um die Anzahl der Erzeuger von , die mit der eulerschen -Funktion berechnet werden kann.

a) Es ist

die Anzahl der primitiven Elemente ist somit


b) Es ist

die Anzahl der primitiven Elemente ist somit


c) Es ist

die Anzahl der primitiven Elemente ist somit


d) Es ist

die Anzahl der primitiven Elemente ist somit


Aufgabe (7 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei und teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.


Lösung

Ohne Einschränkung sei . Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit , wobei zwischen und und zwischen und liegt. Es sei der Rest von bei Division durch . Wir behaupten, dass wenn man die Belegung durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch erzielen kann, wobei den Rest von modulo bezeichnet. Wir starten also mit

Durch Umschüttung kann man

erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man

erreichen, und ebenso der Reihe nach

wobei so gewählt sei, dass

und

sei. Von hier aus erreichen wir

Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Sei die umgefüllte Menge. Diese erfüllt

Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit

Diese Menge ist also der Rest von modulo ,wie behauptet.

Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen (bzw. die Reste davon modulo a).

Da teilerfremd zu ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen mit

(Falls negativ sind, betrachtet man einfach für ein ausreichend großes ).

Somit ist modulo

so dass bei Division durch für ein gewisses der Rest von gleich ist.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen .

  1. Was ist die kleinste Zahl mit
  2. Zeige, dass die Reihe

    konvergiert.


Lösung

  1. Genau dann ist

    wenn eine Primzahlpotenz , , ( Primzahl) ist, da diese nicht als Faktor einer kleineren Zahl auftauchen. Man muss also nach der kleinsten Folge von zwei Zahlen ohne Primzahlpotenzen suchen. Dies ist , die Antwort ist also .

  2. Für ist insbesondere ein Vielfaches von und . Da diese beiden Zahlen teilerfremd sind, ist ein Vielfaches von . Somit ist

    und

    Also ist

    Da die Kehrwerte der Quadratzahlen bekanntlich konvergieren, liegt nach dem Majorantenkriterium Konvergenz vor.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das folgende Jacobi-Symbol mittels des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, ohne dabei die Primfaktorzerlegung zu verwenden:


Lösung


Die Zahlen und haben beide modulo den Rest . Somit ist

Die Zahl hat ebenfalls den Rest modulo , also ist dies gleich

Die Zahl hat den Rest modulo , somit ist dies gleich

Wegen ist dies nach dem Euler-Kriterium gleich .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ist.


Lösung

Wir nehmen an, dass es ein solches rechtwinkliges Dreieck gibt. Wir können die beteiligten rationalen Seitenlängen mit einem gemeinsamen Hauptnenner schreiben und setzen die Seitenlängen als an, mit

Die Flächenbedingung bedeutet

bzw.

Wir lösen nach auf und erhalten

und setzen dies in die pythagoreische Gleichung ein und erhalten

bzw.

Dann wäre aber das Tripel eine nichttriviale Lösung der Gleichung

was es nach Fakt nicht geben kann.


Aufgabe (10 (2+2+6) Punkte)

  1. Es sei ein normiertes Polynom aus und es gebe eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass modulo , also aufgefasst in , irreduzibel sei. Zeige, dass dann schon irreduzibel ist.
  2. Zeige, dass die erste Aussage für ein nichtnormiertes Polynom nicht stimmen muss.
  3. Es sei eine Primzahl und ein normiertes Polynom. Zeige, dass es ein normiertes Polynom gibt, das modulo mit übereinstimmt und das zusätzlich irreduzibel ist.


Lösung

  1. Nehmen wir an, dass nicht irreduzibel ist. Es gibt dann eine Zerlegung

    in , wobei ebenfalls normierte Polynome sind, die einen kleineren Grad als besitzen. Da die Reduktion modulo ein Ringhomomorphismus

    ist, der für normierte Polynome den Grad unverändert lässt, folgt sofort eine Faktorzerlegung

    die der Irreduzibilität von in widerspricht.

  2. Sei , wobei diese Darstellung unmittelbar zeigt, dass nicht irreduzibel in ist. Für ist die Reduktion modulo gleich , doch dies ist, da eine Einheit in ist, assoziiert zum irreduziblen Polynom .
  3. Sei nun ein normiertes Polynom vom Grad . Es sei eine weitere Primzahl. Da es einen Körper mit Elementen gibt, und da die Einheitengruppe eines endlichen Körpers nach Fakt von einem Element erzeugt wird, ist eine einfache endliche Körpererweiterung von . Also ist

    mit einem normierten irreduziblen Polynom . Es sei

    ein normiertes ganzzahliges Polynom, das modulo mit übereinstimmt. Diese Eigenschaft ändert sich nicht, wenn wir Vielfache von mit zwischen und dazuaddieren. Wir behaupten, dass wir durch solche Additionen erreichen können, dass die Reduktion modulo zum irreduzibeln Polynom wird. Aus Teil (1) folgt dann, dass dieses neue irreduzibel ist. Die Abänderung können wir komponentenweise durchführen. Es sei

    mit . Da in eine Einheit ist, erzeugt es als Gruppe , d.h. durchläuft alle Elemente von . Somit kann man durch Addition eines Vielfachen von erreichen, dass modulo mit übereinstimmt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass jedes Ideal in einem Zahlbereich eine ganze Zahl enthält.


Lösung

Sei . Dieses Element ist nach der Definition eines Zahlbereiches ganz über und erfüllt demnach eine Ganzheitsgleichung

mit ganzen Zahlen . Bei kann man die Gleichung mit kürzen, da ein Nichtnullteiler ist. So kann man sukzessive fortfahren und erhält schließlich eine Ganzheitsgleichung, bei der der konstante Term nicht ist. Sei also in obiger Gleichung . Dann ist

und somit ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Zahlbereich und seien teilerfremde Zahlen. Zeige, dass für den (im Quotientenkörper genommenen) Durchschnitt

gilt.


Lösung

Sei

Das bedeutet, dass es Zähler und Exponenten gibt, dass

gilt. Da und teilerfremd sind, sind auch und teilerfremd und somit gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen mit

Somit ist

und dies gehört zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal , das durch die rationalen Zahlen

erzeugt wird.


Lösung

Wir bringen die drei Brüche auf einen Hauptnenner, was

ergibt. Der größte gemeinsame Teiler der beiden ersten Zähler ist . Da dies teilerfremd zu ist, sind die drei Zähler insgesamt teilerfremd. Daher wird das gebrochene Ideal durch erzeugt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich und ein Ideal in . Zeige, dass es ein Element mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale gilt:


Lösung

Da die Idealklassengruppe von endlich ist, gibt es ein derart, dass die -te Potenz von ein Hauptideal ist. Somit ist

mit einem gewissen , . Da und das gleiche Radikal besitzen, ist

für ein gewisses . Somit stimmen die Radikale zu , zu , zu und zu überein. Für ein maximales Ideal gilt nun genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn .