Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ ist genau dann zyklisch, wenn

   ${}n=1,2,4,p^{s},2p^{s}\,$

   ist, wobei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}s\geq 1$ ist.
2. Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel mit ${}y$ gerade und mit ${}z\neq -x$. Dann gibt es eindeutig bestimmte ganze teilerfremde Zahlen ${}(u,v)$ mit ${}v>0$ und ${}a\in \mathbb {Z}$ und mit

   $x=a(v^{2}-u^{2}),\,y=a(2uv),\,z=a(u^{2}+v^{2}).$

   Das pythagoreische Tripel ist primitiv genau dann, wenn ${}a$ eine Einheit ist und ${}u$ und ${}v$ nicht beide ungerade sind.
3. Es sei ${}R$ ein Zahlbereich. Dann ist jedes von ${}0$ verschiedene Primideal von ${}R$ bereits ein maximales Ideal.

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