Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 5 4 4 3 6 2 3 5 4 9 5 3 4 65



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  2. Eine primitive Einheit in .
  3. Das Legendre-Symbol.
  4. Ein pythagoreisches Tripel.
  5. Eine Mersennesche Primzahl.
  6. Eine Carmichael-Zahl.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.
  2. Der kleine Fermat.
  3. Der Primzahlsatz.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde unter den Zahlen diejenige Zahl mit der maximalen Anzahl an Teilern.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Lemma von Euklid für einen Hauptidealbereich.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich ist.


Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das nicht zu gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl gilt: .


Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol


und bestimme, ob ein Quadratrest modulo ist oder nicht ( ist eine Primzahl).


Aufgabe * (9 Punkte)

Zeige, dass die diophantische Gleichung

keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige: Für eine Primzahl ist die Mersennesche Zahl quasiprim zur Basis .