Ellipse/Flächenberechnung aus Kreis/Beispiel

Den Flächeninhalt des Einheitskreises haben wir in Beispiel über ein Integral als ${}\pi$ bestimmt. Unter der durch die Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}$ gegebenen linearen Abbildung wird die Einheitskreisscheibe ${}{\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$ auf

${\left\{(ax,by)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid {\frac {1}{a^{2}}}u^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}v^{2}\leq 1\right\}}={\left\{(u,v)\mid b^{2}u^{2}+a^{2}v^{2}\leq a^{2}b^{2}\right\}}\,$

abgebildet. Das Bild ist eine (achsenparallele) Ellipsenscheibe. Ihr Flächeninhalt ist nach Fakt gleich ${}\pi ab$.