Elliptische Funktion/Exponentailfunktion/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei  ${}\Gamma =\langle 2\pi {\mathrm {i} },u\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$  ein Gitter und sei  ${}a=e^{u}$. 

1. Es sei

   $g\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

   ${}g(aw)=g(w)\,$

   für alle ${}w$. Zeige, dass

   ${}f(z)=g(e^{z})\,$

   elliptisch bezüglich ${}\Gamma$ ist.

2. Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ elliptisch bezüglich ${}\Gamma$. Zeige, dass es eine Funktion ${}g\colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ wie in (1) gibt derart, dass

   ${}f(z)=g(e^{z})\,$

   gilt.

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